Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При 0 С vp соотношение (2.33) можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя членами разложения:
V„ = Kn (V — Vp),
(2.28)
ZoW= — У v—vp /Сі/зIP(а—ур)3/2];
V
/l(o) = - JLf0 (0),
Vy
(2.29>
(2.30)
где
(2.31)
Xi/з — функция Макдональда.
При V <; Vp кинетическое уравнение имеет вид
у [cos 9+ -Sin2B - ! + S = V11(D1)Z(D1). (2.32)
I dv V d(cosQ) J
Vt1 = D2+ Dp.
(2.33)
(2.34).
Подставляя его в уравнение (2.32), используя разложение ф (V, 0) = Фо (D) + ф! (D) COS 0 + ...
(2.35>
81
и повторяя выкладки, аналогичные предыдущим, получаем следующие уравнения:
<¦;+=с,«» 2-57||7Т- (2.36)
Фо = —^ Фі- (2.37)
V
Решение уравнения (2.36), конечное в нуле, имеет вид
С К 23/2 vx/2 ас ФіИ = -1 Н'ур2 Р .±§xKu3{x)dx, (2.38)
о
где a = ру3/(2 Vp)3Тогда из (2.37) получаем
Фо(у) = —f Фі(у)^и + С2. (2.39)
У J
Константы С и C1 можно определить из условий сшивания функций / и ф при V = Vpi а также из условия нормировки
j Ifo (») + Фо (у)] dv= I. (2.40)
Приведенный расчет сделан в предположении, что имеется только один уровень возбуждения атома. Для того чтобы учесть потери энергии на возбуждение других уровней, а также на ионизацию атома, в правой части уравнения (2.25) вместо стоящего там члена
следует записать выражение 2vHl/ (а). Суммирование производится
і
по всем энергетическим уровням атома, avHi — частота возбуждения і'-го уровня. В уравнении (2.32) соответственно в правой части
следует писать выражение вида 2vh t f (Vh)9 где v% = +
і
+ vff a Vi определяется энергией возбуждения і-го уровня mvі 12.
Расчеты при этом становятся чрезвычайно громоздкими, и в настоящее время имеется по существу одна работа Смита [7], где они проведены для гелия. Поэтому обычно кинетическое уравнение записывают в прежнем виде (2.25) и (2.32), однако под vH понимают полную частоту возбуждения или ионизации электронным ударом, а под Vp — некоторую среднюю скорость Vfp9 лежащую в интервале
Vp < Vp С Va, (2.41)
где ии определяется энергией ионизации атома то\\2. Смит [7] нашел, что для гелия
^ = ^/3 + 202/3. (2.42)
При увеличении концентрации электронов, т. е. когда плазма сильно ионизована, в кинетическое уравнение следует добавить еще один член, описывающий межэлектронные столкновения.
82
Учет межэлектронных столкновений приводит к тому, что функция распределения вновь приближается к максвелловской и в пределе, когда частота междуэлектронных столкновений много больше частоты столкновений электрона с атомами, становится точно максвелловской [8, 9]:
/о (о) = (m/2nkTе)3/2 exp (— mv2/2kTe)> (2.43)
где Te— электронная температура. В этом случае в плазме вводятся отдельно электронная и атомная температуры.
При каких же концентрациях электронов плазму можно считать слабоионизованной и пользоваться функциями распределения (2.12),
(2.13) или (2.29), (2.30), (2.38) и (2.39) и при каких — считать функцию распределения максвелловской (2.43). В принципе все определяет параметр [1]
р = Уев (Pq)---- /2 44)
(ZmIM)Vea(V0)
nevee—частота межэлектронных столкновений; —чгстста стслк новений электронов с атомами; vQ = Y2kTe/m. Если P >5, то можно считать плазму сильноионизованной, а функцию распределения — максвелловской. Если же P < 5, то плазма слабо-ионизована. Однако на «хвосте» функции распределения, даже для больших Pi отклонения от максвелловской функции значительны и только при P > (mv2l2kTe)2 можно считать, что и на «хвосте» установилось распределение Максвелла. Отметим в заключение, что функция распределения во всех случаях зависит от EIN.
2.3. Диффузия и подвижность электронов
Рассмотрим некоторый объем, содержащий газ с небольшой примесью электронов, т. е. слабоионизованную плазму. Пока электрического поля нет, вектор плотности потока электронов j пропорционален градиенту концентрации электронов Ne:
j= — DVNe4 (2.45)
Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии. Если использовать также уравнение непрерывности для плотности электронов
div j + dNJdt = 0, 1(2.46)
то
dNJdt = div (DVNe). (2.47)
В большинстве случаев D не зависит от пространственных переменных и уравнение (2.47) принимает вид
SNeIdt = DV2Ne. (2.48)
Полученное уравнение называется уравнением диффузии.
83
Решение уравнения (2.48) зависит от выбора начальных и граничных условий. Если, например, в момент времени f = 0 электрон находился в точке г0, т. е.
Ne (г, 0) = 6 (г г0),
где б (г) — дельта-функция Дирака, то решение уравнения диффузии записывается в виде
Ne (г, t) = (4я?0"3/2 ехр [ — (г — г0)2/ (4Dt)], (2.49)
т. е. является обычным распределением Гаусса. При развитии электронных лавин важной характеристикой является средний квадрат расстояния г2, на которое смещается электрон за время t:
- {г2 Ne (г, t) dr
г = ^------—-— = 6D/. (2.50)
J Ne (г, t)dv
В одномерном и двумерном газах вместо множителя 6 будут стоять соответственно множители 2 и 4.
Для произвольного начального условия вида