Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
написано много больших и хороших книг. Однако изобилие материала слабо
помогает студентам при подготовке к экзамену, поскольку за короткий срок
прочесть много толстых книг нереально. Поэтому при написании данного
пособия главной целью было не только лаконично изложить темы, традиционно
читаемые в рамках данного курса, но и избежать перегрузки текста
избыточным материалом.
Автор приносит свою искреннюю благодарность Д. Д. Рю-тову, Г. Е.
Векштейну, Б. Н. Брейзману, И. А. Котельникову и В.Н.Худику, в разные
годы читавшим "Физику сплошных сред" и фактически сформировавшим этот
курс в его настоящем виде, а также В. Б. Реве за многие полезные
замечания.
Глава 1
Электродинамика сплошных сред
1.1. Уравнения Максвелла для сплошной среды
Уравнения Максвелла известны из курса электродинамики:
тока j. В среде, где создающих поле частиц очень много, точное значение
тока, как правило, не известно, потому удобнее пользоваться уравнениями
Максвелла, усредненными по статистическому ансамблю, т. е. по всем
возможным микроскопическим состояниям системы при заданном её
макроскопическом состоянии. Усредненные уравнения по форме совпадают с
(1.1), (1.2), но смысл входящих в них букв другой: теперь Е, В и j -
средние значения полей и тока. Далее мы будем пользоваться только
усредненными по ансамблю уравнениями.
Вторая пара уравнений Максвелла
rot
(1.2)
(1.1)
Это - точные уравнения для точных значений полей Ё, В и
div В = О, div Ё = Аир
(1.3)
(1.4)
есть следствие первой пары (1.1), (1.2) и уравнения непрерывности
1.1. Уравнения Максвелла для сплошной среды
7
Точнее, это начальные условия для уравнений (1.1) и (1.2). Например, взяв
дивергенцию (1.1)
l<9div.E . 47г.. ч и воспользовавшись (1.5), получаем
(div Ё - Аттр) = 0.
Таким образом, если в какой-то момент времени равенства (1.3) и (1.4)
выполнены, то они выполняются всегда.
Полный ток j удобно разделить на две части: ток сторонних зарядов jcmop и
ток jcp, создаваемый частицами среды:
j = jcmop + jcp- (1-6)
Это деление не всегда является однозначным. Если среда является
проводящей, т. е. при наличии стационарного электрического поля в ней
течет постоянный ток, то ток проводимости можно считать как сторонним,
так и током среды. В свою очередь, ток и заряд среды всегда можно
представить в виде
Jcp = Ц- + с rot Л?, рср = -div Р, (1.7)
где Р и М - некоторые векторы. Представление (1.7) неоднозначно: ток и
заряд среды не изменятся при замене
Р<-> Р + rotX, М<->Af-IM, (1.8)
6 at
где X - произвольный вектор. Эта неоднозначность снимается по-разному в
квазистатических и динамических задачах.
В электро- и магнитостатике, когда поля во времени не меняются или
меняются медленно, в качестве Р и М удобно выбрать физически осмысленные
величины: дипольный и магнитный моменты единицы объёма среды. Вектор Р
называют поляризацией среды, а вектор М - намагниченностью. Вводя
8
Глава 1
напряженность магнитного поля Н и электрическую индукцию D
Н = В-4лтМ, б = Ё + 4тгР, (1.9)
можно переписать первое уравнение Максвелла в обычной для
квазистатических задач форме:
, п _ 1 дЁ 47г т 4тг дР , ", лу
с Qt + с + с gt +crot М'
тоЬН=\Щ + ^спюр. (1.10)
Именно такой подход обычно излагается в курсе "Электродинамика".
В динамических задачах, когда зависимость поля от времени становится
существенной, в качестве Р и М уже нельзя брать дипольный и магнитный
моменты единицы объёма. Формально, разумеется, эти моменты вычислить
можно, но при их подстановке в правые части (1.7) ток среды не
получается. Поэтому неоднозначность (1.8) устраняется иначе:
М = 0. (1.11)
Соответственно различия между В и Н не делается, а электрической
индукцией называется такой вектор D, для которого
3D дЁ , х л юч
ж = ж+4ч"- (1Л2)
Первое уравнение Максвелла принимает вид
rot В + ^ jcmop (1-13)
с начальным условием
div D = Аттрапор. (1.14)
Везде далее мы будем пользоваться именно таким определением D и
такой формой уравнения Максвелла. Индекс "ср" у
тока и заряда среды будем опускать.
1.2. Материальное уравнение
9
1.2. Материальное уравнение
Уравнения Максвелла определяют, какими будут поля при заданном
распределении зарядов и токов, т. е. как среда влияет на поле. Чтобы
замкнуть систему уравнений, надо также указать, как поле влияет на среду,
т. е. задать материальное уравнение. В качестве материального уравнения
может выступать зависимость j(E,B) или D(E,B).
Поскольку из уравнения Максвелла (1.2) поле В легко выражается через Е,
то можно считать j и D функциями только от Е. При малой напряженности
поля Е зависимости j(E) и D(E) будут линейными (можно их разложить по
степеням Е и оставить линейные члены как наибольшие).
Электрическое поле можно считать малым, когда оно мало по сравнению с
характерными значениями электрического поля в среде. Обычно эти
характерные значения очень большие (например, в диэлектрике напряженность
внутриатомного поля порядка ГВ/м), потому область применимости линейной
электродинамики сплошных сред очень широка. Везде далее, где не оговорено
