Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
особо, мы будем считать зависимости j(E) и D(E) линейными.
Самый общий вид линейной связи между двумя векторными величинами j и Е
имеет вид
ja(r,t) = J Ep(r' ,t')aap(r,r' ,t,t')dr' dt' (2.1)
или в операторной форме
3 = оЕ. (2.2)
Здесь а - оператор проводимости. Ядро оператора проводимо-
сти aap(r7r'7t,tr) обладает рядом универсальных свойств:
Oafi = 0, если t' > t (2.3)
(будущее не влияет на прошлое),
= 0, если г - г '\ > c(t - t')
(2.4)
10 Глава 1
(быстрее скорости света возмущение не распространяется),
аа/з = (7ay(r - г',t,t') в однородной среде (2.5)
(в среде нет выделенной точки),
°а/з = °а/з(А, г', t - t') в стационарной среде (2.6)
(нет выделенного момента времени). Всюду далее мы будем рассматривать
только однородные стационарные среды.
Аналогичными свойствами обладает ядро оператора диэлектрической
проницаемости е, связывающего D и Е:
D = ёЁ. (2.7)
1.3. Операторы а и ё в фурье-представлении
Будем пользоваться симметричной формой преобразования Фурье, обозначая
функции и их фурье-образы одинаковыми буквами:
Ё(г, t) = -Ё- [ E{k,uj)einff-iLOtdkduj =
(2тг)2 J
= (зл)
(2тгУ J
Ё(к,ш) = -Ё- [ E(r7t)e~^f+ioJtdrdt =
(2тг) J
= (3.2)
(2тг)2 J
где для сокращения записи введены векторы
? = (r,t), q = (к, -со). (3.3)
Найдем фурье-образ от материального уравнения
Da(0 = j Ep{C)eap{q)d^7 q = (3.4)
1.3. Операторы а и ё в фуръе-представлении 11
Получаем
D°(в) = je~iqidt j=
= 7Л2 / e-^e-^'E0(e)sap(r])dedr] =
(2тг) J
= j e-^ea0(V) dVj^J ЩО e~lqi' <%' =
= eap{q)Ep(q).
Итак, если ввести фурье-представление оператора диэлектрической
проницаемости согласно определению
?ар(k,w) = J ?а13(р,т)е^р+ШТс1рс1т, (3.5)
р = г - г', Т = t - t',
то связь между фурье-образами величин будет особенно простой:
Da(k,uj) = eap(k,uj)Ep(k,uj), (3.6)
что является следствием известного математического факта (фурье-образ
свертки с точностью до коэффициентов есть произведение фурье-образов).
Обратим внимание, что формула
(3.5) не есть преобразование Фурье, так как там не хватает коэффициента
(27т)-2.
Аналогично для оператора проводимости имеем
ja(k,uj) = aap(k,uj)Ep(k,uj). (3.7)
В фурье-представлении операторы проводимости и диэлектрической
проницаемости оказываются, вообще говоря, тензорами второго ранга, потому
будем пользоваться терминами "тензор диэлектрической проницаемости" и
"тензор проводимости" для обозначения фурье-представлений соответствующих
операторов.
Из определения электрической индукции (1.12) вытекает полезное
соотношение, связывающее тензоры проводимости аа/з и диэлектрической
проницаемости еар. Действительно,
12
Глава 1
преобразование Фурье от (1.12) даёт
-iloD = -itoE + 4irj,
откуда
г~. 771 1 4iy% ¦
Eql Ea "b .1 Jai
SapEp = 5apEp + -jj-aapEp. (3.8)
Равенство (3.8) выполняется при любом поле Е, следовательно, в фурье-
представлении
?ар = 5ар + оар. (3.9)
1.4. Дисперсионное уравнение
Есть стандартный способ определения волновых свойств среды по заданному
тензору диэлектрической проницаемости. Он состоит в следующем. Мы
разлагаем поля на гармоники (плоские монохроматические волны), исследуем
каждую гармонику по отдельности и находим, какие из гармоник могут
существовать в среде сами по себе. Математически разложение на гармоники
осуществляется преобразованием Фурье. Запишем уравнения Максвелла в
фурье-представлении:
D, (4.1)
i \к х Щ = Щ-В. (4.2)
Нас интересуют волны, которые могут распространяться в среде в
отсутствие сторонних зарядов, потому в уравнении (4.1)
мы положили jcmop = 0. Выражая В из (4.2), подставляя его в (4.1) и
раскрывая двойное векторное произведение, получаем
\кх [?хя]] =к{кЁ) - Ёк2 =-^D. (4.3)
1.4. Дисперсионное уравнение
13
То же в тензорных обозначениях имеет вид
какрЕу - к26арЕу + ^у?а/зДз = 0 (4.4)
с
или
2
Еа/зЕу 0, Еар - какр к Sap з* (4.5)
с
Однородная система уравнений (4.5) имеет ненулевое решение, если
определитель матрицы L равен нулю:
detL = 0. (4.6)
Уравнение (4.6) связывает между собой параметры волны {со и к) и
называется дисперсионным уравнением. Его решения соп(к) (вообще говоря,
комплексные) определяют волны, которые в данной среде могут
распространяться. Таких решений, а значит, и типов волн может быть
несколько, что и отражается индексом п. Зависимости соп(к) называются
дисперсионными соотношениями. Соответствующие им ненулевые решения Еп(к)
системы (4.5) определяют поляризацию волн, т. е. ориентацию вектора Е по
отношению к волновому вектору к и выделенным направлениям среды (если
таковые есть).
Проиллюстрируем описанный выше алгоритм на примере волн в диэлектрике с
проницаемостью
еар = ?{oj)Sa/3. (4.7)
Выберем ось координат z параллельной к. Тогда векторное уравнение (4.5)
примет вид
^-к2 + tE-?(tu) О
с2
О -к2 + ^?(со)
с
О О
V
со
п \ / \
0 Ех
0 Еу
ф) Ег.
\ /
= 0. (4,
14
Глава 1
Определитель матрицы Ьар обращается в нуль в двух случаях:
2 _ к2с2
со =
е(и>) е(и>) = 0.
(4.9)
(4.10)
Волны первого типа называют электромагнитными. Это - поперечные волны (Е
