Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
которого являются координаты точек плоскости, должно быть коммутативно
относительно операц умножения. Теорема Паппа справедлива в PG (2, Fg) при
Ж бом q, равном степени простого числа. Теорема Паппа также си: ведлива и
в любой конечной дезарговой плоскости.
Имеется существенное различие между свойствами плосю PG (2, Г?) для
четного q и плоскости PG (2, Г?) для нечетного Это различие выражено в
следующей теореме.
9.63. Теорема. Точки, образующие диагональ полного hbi рехвершинника1) в
PG (2, являются коллинеарными то*
и только тогдаЛ когда q четно.
1) Полным четырехвершинником называется совокупность, состоящая четырех
точек (вершин), лежащих в одной плоскости, из которых никакие не лежат на
одной прямой, и шести соединяющих их прямых (сторон); его дой наль
состоит из точек пересечения несмежных, т, е. не имеющих общей вершит
сторон. -Прим. перев.
I -Т-
•" . s.-
У2
§ 3. Конечные геометрии
623
Доказательство. Предположим, не теряя общности, что вершинами нашего
четырехвершинника являются точки (1, 0, 0), (0. U 0). (0" 0" 0 и О" I"
Шесть его сторон задаются соотношениями Х% 0) 0, ХХ Х% - 0, Xq 0, Xq
Х'? 0, Xq
.- Xi = 0. В то же время диагональными точками являются точки
(1, 1, 0), (1, 0, 1) и (0, I, I). Прямая, проходящая через первые две
точки, содержит все точки с координатами (а 4~ Ь, а, Ь), где (а, 6) Ф (0,
0). Нетрудно видеть, что третья точка лежит на этой прямой тогда и только
тогда, когда а - b п а ф b ~ 0. В конечном поле это выполняется лишь в
том случае, когда характеристика поля равна 2. П
Иллюстрацией последнего случая может служить пример 9.55. Пусть вершинами
полного четырехвершнниика являются точки С, 0Л Е, G. В этом случае
диагональными точками являются точки А, F и В, которые лежат на одной
прямой.
Введем теперь некоторые понятия, аналогичные известным понятиям из
аналитической геометрии. Ограничимся при этом рассмотрением дезарговых
плоскостей, координаты в которых являются элементами конечного поля
Пусть две различные прямые заданы уравнениями
+ йпхг 4- а2Хх% =
%X(f 4~ GLi%Xi 4" d%%X% (tm)
Пусть Р - точка пересечения этих прямых. Все прямые, проходящие через
точку РЛ образуют пучок, и каждая прямая из этого пучка задается
уравнением вида
(ra01 + sapa) -f~ (гйц 4~ Xi ф (г&ы -f~ x% (tm) 0"
где элементы г, s ? не равны одновременно 0. Пучок содержит ц 4~ I
прямых: две прямые, заданные уравнениями (9,7), которые соответствуют
случаям $**= 0 и г = 0, и q - 1 прямых, соответствующих q - I различным
значениям произведения гаг1, где г ф 0, s Ф 0. Пусть имеется другой пучок
прямых, проходящий через точку Q Ф Р и задаваемый уравнением
(rb01 ф s/?02) хй 4- (rbn ф sbn) Xi ф (rbn ф sb22) x.2 = 0.
Проективное соответствие между прямыми этих пучков можно задать следующим
обр азом: прямая одного пучка, задаваема я парой (г, s), соответствует
той прямой другого пучка, которая задается той же парой параметров (г,
s). Каждая пара соответствующих друг другу прямых пересекается в
единственной точке. Исключение представляет случай, когда прямая PQ
соответствует
0.
(9.7)
624
Гл. 9, Приложения конечных полей
• W-< -
Ж
w
самой себе. Координаты точек пересечения удовлетворяют ур. нению
С<%*о + йпМ -f Я21Х2) {hir2x<} j Ь12хг ~f hi2x2) -
(й0.>Л'у ~i" Т" Ct^X^) (601X0 "Г" ~4~ t>2lX2) - 0,
.
Ш
¦ii,
которое получается исключением параметров г и s из уравкенщ
соответствующих пучков.
9.64. Определение. Множество точек, координаты которм удовлетворяют
уравнению (9.8), называется коникой, Если в р зультате установленного
выше соответствия прямая PQ соотве|| ствует сама себе, то коника
называется вырожденной. В этом еду чае она состоит из 2q I 1 точек,
которые образуют две кающиеся прямые. Невырожденная коника состоит из q
точек, являющихся точками пересечения соответствующих прямых, Прямая,
имеющая с коникой ровно одну общую точку, на зывается касательной;
прямая, имеющая с коникой две точки, называется секущей.
Уравнение, задающее невырожденную конику, является дратным, поэтому
прямая не может иметь с невырожденной кр никои более двух общих точек.
Возьмем одну точку невырождей^ ной коники и соединим ее прямыми с
остальными q точками ники. Получившиеся прямые являются секущими. Так как
че каждую точку проходит q -f 1 прямых, то оставшаяся прям^ является
касательной.
Таким образом, q -f 1 точек невырожденной коники дают тем свойством, что
никакие три из них не лежат на од прямой. Можно доказать, что
невырожденной коникой явля любое множество, состоящее из q -f 1 точек
проективной кости PG (2, Fg), где q нечетно, обладающих тем свойством,
никакие три из них не коллинеарны.
Следующая теорема, которую мы докажем только части иллюстрирует разницу
между свойствами коник в дезарго плоскостях четного и нечетного порядков.
9.65. Теорема, (i) В дезарговой плоскости нечетного пор через каждую
точку, не лежащую на невырожденной конике, л проходят две касательные к
этой конике, либо не проходит I одной.
