Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
?
<7-1
9.68. Следствие. Если f (х) ~ ^jb]x{, а А (/) - соответст-
^ ы ittn J
сующий овал в проективной плоскости PG (2, F9), q четно и q > 2, то /
обязательно имеет вид
<<7-2)/2
I (X) = 2 b3jx2'.
1=1
Доказательство. Из условия (ii) теоремы 9.67 следует, что для всех а ? Fa
справедливо равенство
(r) " ga (^) " ^1 ~ь "Н ЬьсА -j- - * " -|- Ьч_\ОЯ~~2.
Отсюда следует, что bt = bs ~ Ьъ -bq_x = 0. ?
9.69. Следствие. Множество А (xk), 1 является ова-
лом в проективной плоскости PG (2, F9), где q > 2 четно, тогда и только
тогда, когдй выполнены следующие условия: (1) НОД (6, q - j) ^ j. ^j) НОД
(й - 1, q - !) - 1; (iii) многочлен [(jc -f Т- I)к f 1 jix является
перестановочным многочленом поля F9.
Доказательство. В силу теоремы 7.8 (ii) условие (i) эквивалентно условию
(i) теоремы 9.67. Аналогично условие (И) эквивалентно условию теоремы
9.67 для а - 0. Если а ? F|, то
ga (*) = [(х + а)* -j~ ak)fx = ak~l [(сг1 х -f ! )й -f 1 ЗДа(tm)1*) =
- a^g! (а-1*).
Таким образом, ga является перестановочным многочленом 11оля тогда и
только тогда, когда таковым является много-ЧЛен gi- Кроме того, если дг
является перестановочным многочле-
13*
628
Гл, 9, Приложения конечных нолей
Ж
ном поля fq, то из соотношений gt (0) ? Fg, gi (1) ~ 1 вьг. кает, что g1
(0) 0 и, следовательно, ga (0) = 0.
Конструкцию, аналогичную проективной плоскости, мож дать и в случае,
когда размерность пространства больше, чем
9.70. Определение, Проективным пространством или т-п странством, или
проективной геометрией называется множес точек, в котором выделены
некоторые подмножества точек, н зываемые прямыми, удовлетворяющие
следующим условиям:
(i) Существует единственная прямая, проходящая через бую пару
несовпадающих точек,
(ii) Прямая, пересекающая две прямые, являющиеся етор нами некоторого
треугольника, пересекает также и третью сторону.
(iii) Каждая прямая содержит по крайней мере 3 точки,
(iv) ^-пространство определим следующим образом. 0-п странство является
точкой. Еслн А0, ..., Ак - точки, не лез$| щие в одном (к - I)-
пространстве, то все точки, лежащие на п] мых, проходящих через Aft и
какую-нибудь точку (к - 1)-простр| ства, заданного точками Ait ..., Ah,
образуют /мфостранст. Таким образом, прямая является 1-нространством, а
все ост ные пространства определяются рекурсивно. Аксиома (iv) Y бует:
если к < ш, то не все точки рассматриваемого множе лежат в одном ^-
пространстве.
(v) Рассматриваемое множество точек не порождает (т + пространство.
Мы будем говорить, что m-пространство имеет размерность Если имеется ^-
пространство, являющееся подпространством п ективного пространства более
высокой размерности, то мы бу, называть его к-плоскостью. (гп - 1)-
плоскость проективного странства размерности т называется
гиперплоскостью. 2-простр; ство является проективной плоскостью в смысле
определения 9. Можно доказать, что в любой 2-цлоскости любого проективн^
пространства размерности не меньше 3 всегда справедлива т рема Дезарга
(теорема 9.61). Теорема Дезарга может не вьш пяться только в таких
проективных плоскостях, которые нель| вложить в проективное пространство
большей размерности.
Проективное пространство, состоящее из конечного числа чек, называется
конечным проективным пространством (ков ной проективной геометрией,
конечным т~пространством) аналогии с PG (2, fy) можно построить конечное
щ-пространст: PG (m, . F7). Определим точку как упорядоченный набор #1.
где координаты хt лежат в fq и не все одновремеш!
равняются 0. Набор вида (ахо, ахь ..., ахт), где а б F*. опр^Щ ляет ту же
самую точку, что и набор (х0, хь хт). Таким обр зом, PG (т, FA содержит
(qm^] - l)/(q - 1) различных то*г
Л
§ 3. Конечные геометрии
629
k- п л ос к остью в пространстве PG (гп, (рд) является множество всех
таких точек, координаты которых удовлетворяют системе из т - k линейно
независимых однородных линейных уравнений
-ф ' ¦ - щХт " 0>
&m-k, "Г ' * * ~t" &m-k, т^т " О
с коэффициентами аи ? Fq. С другой стороны, k~плоскость - это множество
всех точек с координатами
(^О^ОО Н " ' * " ! ¦ • ' " ф(tm) ¦ ¦ ¦ ---
где элементы щ ? fq не все одновременно равны 0, а к + 1 заданных точек
(Хад, . . • , Хот)" . . . , . (^&о* . . . г Xftm)
линейно независимы. Последнее означает, что матрица
Xqq . . . Xom
Xjo ... Х\
т
¦ ¦ ' ^hm
имеет ранг к 4 1. Число точек в /:-плоскости равняется (gk^ { \)/(q - 1);
прямая содержит q-f Л точек, а плоскость содержит if Н- q + 1 точек.
Нетрудно проверить, что PG (m, р9) удовлетворяет всем пяти аксиомам /п-
пространства.
Мы знаем, что в поле любую степень первообразного
элемента а можно представить в виде многочлена от а степени не выше т с
коэффициентами из поля fq. Если
а{ = атат +-------\- а0,
мы можем рассматривать а1 как точку пространства PG (т, Fq) с
координатами (а0, ат). Две степени сс' н а* задают одну и ту же точку
тогда и только тогда, когда для некоторого а ? FJ выполняется равенство
а.1 = aaf т. е. тогда и только тогда, когда
