Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
i = /(mod (q,n i1 - \)i(q - 1)).
^-плоскость 5, содержащая k + 1 линейно независимых точек,
й "
которые соответствуют степеням ссЧ .... содержит все точки,
* i
которые можно представить в виде 21агсс ф где элементы аг
^ _
прннадлежат н не все одновременно равны 0. Если положить у ~ (qm+i Y\j{n
- п то для каждого значения h ^ 0, 1, ...
к
..., v - \ точки вида аг(где aF ? F^ и не все аТ одновре-
630
Гл. 9. Приложения конечных полей
ату рал:
хменно равны 0) тоже образуют ^-плоскость. Обозначим &-плоскосТ1
соответствующую заданному значению /г, через Sht Тогда Sv = 50 - S, так
как av ? Пусть /- наименьшее н ное число, для которого Sj -= S. Тогда из
равенства SnJ для всех п ? Ы следует, что / делит V, т. е. что v = tj.
Назов| чнсло/ циклом 6-плоскости 5.
Если ad(r) определяет точку, принадлежащую 6-плоскости то этим же свойством
обладают и точки, соответствующие пок| зателям степени
<4| г d\\ /. • • • , "Т" {/
в силу того, что Snj - 5 для всех п ^ 0, 1, t- 1. Дру: точки поверхности
S можно задать с помощью степеней элемент! со следующими показателями:
do .<*! + /, .... d,-[ it 1)/"
'I**
*! V А
ъ
и~1
¦
/
du-:
< Л
где -- не делится на /, если г\ Ф г?. Число всех таких р личных точек
равно tu - iqk"A - \)/(q - 1).
Если tj = (qm+] - 1 )/(q - 1) и tu = (qk+i - 1 )/(</ - 1) имио просты, то
1, j - v и все 6-плоскости имеют цикл: Последнее выполняется в случае k
=¦ rn - i и в случае k при условии, что т четно.
9.71, Пример. Рассмотрим проективную геометрию PG (3 которая содержит 15
точек, 35 прямых и 15 плоскостей; при qm+i - 16. Используя в качестве
элемента а ^ Fllt корень Щ митивного многочлена х4 4- х 4 1 ? F2 [х],
установим соот: ствне между степенями элемента а и точками из PG (3, F2):
К
/да."
Js ,1р
v ¦ '-3
•ми?
' i'S
А - (0, 0, 0, 1) В - (0,0, 1,0) С ~ (0,0, 1, 1) D (0, 1,0, 0) F *-= (0,
1,0, 1)
а
з
а
2
а'
а
I
а
9
F = (0, 1, 1,0) G - (0. 1, 1, 1) И (1,0,0,0) /-(1,0,0,1) J = (1,0, 1,0)
а
г>
а
ii
а
я
а
14
Я'
/с = (1, о, 1, 1)~
L (1, 1,0,0) -М-(1, 40, 1) *
N ~ (4 1, 1, 0)~
О - (1,1,1, 1)^0
Д{:
Плоскость
5 - S0 = |
а0а
о
4 аЛа
а.сс
йд, (^0' й^) ~А~ (0, 0,
совпадает с плоскостью, определяемой уравнением х3 - 0. содержит точки В,
О; F, Ft, J, ?, Аг, и ее цикл равен 15, так как и цикл любой другой
гиперплоскости. Плоскость
64 |а0ах 4- а1а2 + 1 а0, аь a2ef2, (а0, ах, а2) # (0, 0,
-Ж)
§ 4. Приложения к комбинаторике
............."ipw*inm* ¦-....... ЬЛ|
т
совпадает с плоскостью, определяемой уравнением х0 = 0, и содержит точки
А, Б, С, ?>, Я, F, G и т. д. Цикл прямой
ja0ce*Qi G IFs" К* 0)Ь
совпадающей с прямой AJK, равен 5. Обе прямые ABC н ADE имеют цикл 15.
Таким образом, указаны все 5 + 15 + 15 = 35
прямых, [J
Конечной сохранной (или евклидовой) геометрией, обозначаемой через AG (m,
Fy), называется множество 6-плоскостей (для всех возможных 6), которое
остается, еслн из PG (т, Fq) выбросить некоторую гиперплоскость вместе со
всеми 6-плоскостями, содержащимися в этой гиперплоскости. Все выброшенные
6-пло-с к ости называю гея бесконечно удаленными k-плоскостями. Те из
оставшихся /г-плоскостей, которые пересекаются по бесконечно удаленной 6-
плоскости, называются параллельными. Принято выбрасывать гиперплоскость,
определяемую уравнением хт - 0. Тогда мы можем считать, что координата хт
у всех точек нз AG (т. F(?) равняется 1, и рассматривать для этих точек
только остальные координаты. Так как PG (m, Fff) содержит qm . ... Т q L
1 точек, а удаленная гиперплоскость содержит qm~] + * •.
,.. ~f q + 1 точек, го AG (т, FQ) содержит qm точек,
fe-плоскость в AG (т, tq) состоит из всех qk точек, координаты которых
удовлетворяют системе уравнений
-Г" ' ' ' Г , т-\%т~\ I &itn " 0, i 1, . . . , /71 - 6,
матрица коэффициентов которой имеет ранг т - 6. В частности,
гиперплоскость задается уравнением
Vo +¦*•-}- ttm-lXm-l -f ат 0,
в котором не все коэффициенты ав, ат_х равны 0. Если зафиксировать
коэффициенты а0, ..., а ат заставить пробе-
гать все множество элементов поля F(i, то мы получаем пучок параллельных
гиперплоскостей.
§ 4. Приложения к комбинаторике
В этом параграфе мы опишем некоторые примеры использования конечных нолей
в комбинаторике.
Имеется тесная связь между конечными геометриями и так
называемыми схемами *). Схемы, которые мы собираемся рас-
тт.им _
) Б комбинаторной литературе термин design обычно переводят как "блок-
схема", но мы будем употреблять последний термин в качестве краткого
синонима Уравновешенной неполной блок-схемы, тем более что это не
приводит к недора-3Умениям. - Прим. перев,
632
Гл 9, Приложения конечных полей
сматривать, состоят из двух непустых множеств объектов и ношения
инцидентности между объектами, принадлежащими р ным множествам, Так,
например, объектами могут быть то и прямые, а отношение инцидентности
определяет, лежит данн точка на данной прямой или нет. Терминология,
которая обыц* используется в этой области комбинаторики, берет свое uaqat
