Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(ii) В дезарговой плоскости четного порядка все касател к невырожденной
конике пересекаются в одной точке.
Доказательство. Доказательство п. (ii) служит примером то как свойства
конечных полей используются в теории конечк* проективных плоскостей.
Предположим, не теряя общности, три точки Л - (I, 0, 0), В = (0, 1, 0) и
С = (0, 0, 1) явля точками невырожденной коники, лежащей в дезарговой
плоское
¦S
§ 3. Конечные геометрии
625
четного порядка. Пусть касательные, проходящие через эти точки, заданы
соответственно уравнениями хх -¦ k$x2 - 0t х2 - кгх0 ~ Л). a',j - k2xx -
0. Пусть Р (4, f,, L) - какая-либо другая точка нашей коники. Ни одна из
координат it не может равняться 0. так как иначе точка Р лежала бы на
одной из прямых, проходящих через какие-нибудь две точки из множества \А,
В, С[. Последнее противоречило бы тому, что никакие три точки
невырожденной коники не лежат на одной прямой. Таким образом, прямую РА
можно задать уравнением Х\ - прямую
РВ уравнением лг2 - Ыо1х0 = 0, прямую PC- уравнением
лд ¦ tot] = 0.
Рассмотрим уравнение прямой РА. Поскольку в качестве Р мы взяли
произвольную точку коники, отличную от точек Л, В,
С, отношение пробегает все множество элементов поля отличных от 0 и k6.
Так как
П (X - с) - х<>-] 1,
сет;
го произведение всех ненулевых элементов поля равняется {- 1)С Тогда,
еслн умножить произведение всех q- 2 возможных значений отношения t\i%x
fia &о, то мы получим (~l)v ^ 1, так как q четно. Таким образом.
k\ П I'Jq ~ 1, к'2 П 1 >
где произведение берется по всем точкам коники, отличным от А, В и С.
Перемножая эти три равенства, получаем k0kxk2 = К Следовательно, точки
(1, k0klt kx), (k2, !, kxk2) и (k0k2, k0, !) совпадают. Значит, все три
касательные, проходящие через точки Л, В и С, пересекаются в одной точке.
А так как точки Л, В н С выбирались произвольно, то мы получаем, что
любые трн касательные нашей коники пересекаются в одной и той же точке. П
Существуют интересные связи между перестановочными многочленами конечных
полей (см. гл* 7) и конечными проективными плоскостями. Продемонстрируем
одну из них.
9.66. Определение. Овалом в проективной плоскости PG (2, j <,), где q
четно, называется множество из q ~ 2 точек этой плоскости, никакие трн нз
которых не лежат на одной прямой.
В качестве примера овала можно взять q 4 I точек, образующих
невырожденную конику в PG (2, Fg), где q четно, и добавить к и им точку
пересечения всех касательных этой коники (см. теорему 9.65 (ii)). В
следующей теореме указывается канонический
овала.
I
^3 Зак. 243
626
Гл. 9. Приложения конечных полей
'V
9.67, Теорема. Любой овал в проективной плоскости PG (2, где q четно и q
>2, может быть записан в виде
A(f) = \(f(cy, с, 1)|с? Гу| U 1(1. О, 0), (0, lt 0)(,
где / принадлежит Fj? [х J и удовлетворяет следующим у с лов и ([) у -
перестановочный многочлен поля T(J, такой%
deg (t) <Я " f (0) - 0, f (1) - 1;
(ii) для любого а ? многочлен ga (х) = I/ (х + а) • +• I (а) ]/х является
перестановочным многочленом поля пр\
чем ga(0) = 0. ;|
Верно и обратное: каждое такое множество А {[) является овалШ.
Доказательство. Пусть D - овал в плоскости PG (2, К! Мы можем
преобразовать координаты на плоскости таким об4 зом, чтобы точки Р0 - (1,
0, 0), Я, (0, I, 0), Р2 ~ (0, 0,4 и Pj= (I, 1, 1) были точками овала D.
Тогда никакая дру^ точка из D не лежит на прямой Я0^1*
Следовательно, q
овала D, отличных от Я0 и можно представить в виде |
С, 1), ! 1 q* где di, Ci ? Так как каждая прямая, п
ходящая через точку Я0, содержит еще только одну точку овала| то ct Ф Cj
при i Ф j. Аналогично так как каждая прямая, пр^ дящая через точку также
содержит еще только одну то4 овала О, то d-t Ф dj при i Ф j. Таким
образом,
•' С'
И, следовательно, в силу (7.1) существует перестановочный мнр^ член / (х)
поля F для которого / (с^ di} I <; / < q и deg (Щ < q. Так как Р2> Лз ?&>
получаем, что f (0) - 0, /(!)(tm)lj Значит, D - А (}), где / удовлетворяет
условию (i). 4
Остается показать, что условие (ii) эквивалентно тому, * никакие три
точки из множества A (f)\{PQ, РД не лежат на oAf прямой. Последнее
условие выполняется тогда и только той" когда
1(b) b
f (С) С
№ d
для всех различных Ь> с, d ? Fg. Это означает, что
[/ (Ь) i(c)\(b I с)-1 ф if (ь) -}- f (d) I (b + d)-K 4
т. e. для любого выражение [/ (t) -у / (a) j (t + а)"1 п
нимает различные значения нз FJ при различных t нз поля J отличных от
элемента а. Подставляя вместо / выражение х ТТ получаем, что многочлен
ga (дс) ^ [/ (х 4 а) 4- f (а) Ух
1
!
I
о
АР
* Ус
%
• >*
§ 3. Конечные геометрии
627
задает перестановку элементов из FJ. Так как deg (ga) < q - 2, то из
формулы (7,1) получаем
ga (X) = 2 ga (с) (1 - (х - С)"-').
с €
Тогда, сравнивая коэффициенты при х^~1 и применяя на последнем этапе
лемму 7.3, получаем
О = - 2 ga (С) = ga (0) + 2 ga (О = ga (0) + 2 С
=
i>6Fj
= g"(0)+ 2 c = ga( 0).
c € Fq
Отсюда следует, что ga (х) является перестановочным многочленом ПОЛЯ Fq*
