Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
прямые A DC, AGE, APB, CG F, СЕВ, DOB и Chin Тик как для конечных
плоскостей обычное геометрическое
618
Гл. 9. Приложения конечных полей
•vcS
понятие "прямой" теряет смысл, подмножество DEF в конечна проективной
плоскости считается прямой.
• >]
ш
' 2 'J * •*
- . Ч 5.V
\ ф
• * х.. ..
-.Ч.&
"Л
; *2^ n л;
Число ш, появляющееся в теореме 9.54, называется норж? конечной
проективной плоскости. Как мы увидим далее, конечн проективные плоскости
порядка т существуют для всех целых имеющих вид т ~ рпу где р - простое
чнсло. Известно, что существует проективной плоскости порядка т = 6,
однако М известно, существует ли такая плоскость для т = 10. Для т ~
найден целый набор плоскостей с этим параметром, однако найдено еще ни
одной плоскости, порядок которой не был бы с пенью простого числа.
В обычной аналитической геометрии мы представляем точ плоскости в виде
упорядоченной пары действительных чи (х, у), а прямые - как множества
точек, удовлетворяющих ур нению вида ах + by + с - 0 при условии, что
числа а и Ь равны одновременно 0. Заменим теперь поле действительных |
сел любым другим полем, в частности некоторым конечным пол|: Такой тип
геометрии известен как аффинная геометрия (или клидова геометрия). Тем
самым мы приходим к понятию ной плоскости.
9.56. Определение. Аффинной плоскостью называется троЙ i?, /), состоящая
из множеств точек множества прямых
и отношения инцидентности L При этом должны выполнять^ следующие условия:
(i) каждая пара различных точек инцидентна едннственн
прямой;
(ii) каждая точка Р ? не лежащая на прямой L ? лежит на единственной
прямой М ? SB, которая не пересекается с
(iii) существуют четыре точки, такие, что никакие три них не лежат на
одной прямой.
Доказательство следующей теоремы вытекает непосредственщ из определений.
9.57, Теорема. Пусть К - произвольное поле, и пусть обозначает множество
упорядоченных пар (х, у), х, у ? /С, а
Ж
UtSisl.
ж
,х/.яп
ж
§ 3. Конечные геометрии
619
состоит из таких подмножеств L множества Я, элементы которых
удовлетворяют линейным уравнениям, т. е. L ? $? тогда а только тогда,
когда найдутся такие элементы а, Ь, с ? К, (а, Ъ) ф (0, 0), для которых L
- {(л:, у)J ах -f by + с " 0|. Точка Р G & инцидентна прямой SB тогда и
только тогда, когда Р ? L. Тогда тройка (0*, SB, /} с определенным выше
отношением инцидентности является аффинной плоскостью и обозначается
через AG (2, К).
Нетрудно показать, что если |/(| - т, то. каждая прямая в AG (2, К)
содержит ровно т точек. Из AG (2, К) можно построить проективную
плоскость. Для этого надо добавить еще одну прямую. Верно и обратное: из
любой проективной плоскости можно получить аффинную плоскость, если
удалить из проективной плоскости одну прямую и все точки, принадлежащие
ей. Покажем это.
С этой целью несколько изменим обозначения для точек плоскости AG (2, К}:
будем обозначать их через (л:, у, I), т. е. (л:, у, г), где 2^1. Тогда
уравнение прямой принимает вид ах ф by Ф i сг = 0, где (а, Ь) Ф (0, 0).
Добавим к 0* множество точек
U = |(1, 0, 0)}U1(*> U 0}|*е/(}
и образуем новое множество точек 0*' - 0* U ?<". Точки из Loo можно
представить с помощью уравнения г, - 0, поэтому множество Loo можно
рассматривать как прямую. Добавим эту новую прямую к множеству прямых и
образуем новое множество Я' 0Р (j jЕстественным образом перенося на
множества и Я?' отношение инцидентности /, можно проверить, что тройка
{Я\Я\ Г) удовлетворяет всем аксиомам проективной плоскости.
9.58. Теорема. Пусть AG (2, К) = (^, SB, /), и пусть
0*' = ^U{(I, 0, 0)|U{(x, 1, 0)1 х?К\ =^U Loo,
Я'= 2?\)\Loo\>
а отношение инцидентности /, перенесенное на множества 0*' иЯ\ обозначено
через /'. Тогда (0**, S?\ /') является проективной плоскостью и
обозначается через PG (2, К).
9.59. Пример. Плоскость PG (2, F*) - проективная плоскость над полем Т2 -
содержит 7 точек: точки (0, 0, 1), (I, 0, 1), (0, I, I), П, 1, 1) с
координатой z Ф 0 и три различные точки прямой 2-0, а именно (I, 0, 0),
(0, I, 0), (I, 1, 0). Нетрудно проверить, что плоскость PG (2, Fa)
содержит также 7 прямых и что эта проективная плоскость является иа самом
деле плоскостью Фано из примера 9.55. ?
^ifVWfP
при построении PG (2, К) из AG (2, К) мы видели, что каждая прямая из AG
(2, К) должна пересечься с добавленной прямой Е",
620
Гл. 9. Приложения конечных полей
РКЙМ
т. е. что к каждой прямой из AG (2, К) надо добавить по одн точке. Прямая
также содержит т |- 1 точек в случае, ес$5 поле К содержит т элементов.
Так как для любой степени пр стого числа т рп - q существует конечное
поле Ffl( то сп ведлива следующая теорема.
9.60. Теорема. Для любой степени простого числа q - р р - простое число,
п ? IN, существует конечная проектцвн плоскость порядка q, а именно PG
(2, Ег/).
Дополнительная прямая добавленная к аффинной пл кости для того, чтобы
получить проективную плоскость, инор называется бесконечно удаленной
прямой. Если две прямые пе секаются по точке, лежащей на Loo, то они
