Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 258

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 252 253 254 255 256 257 < 258 > 259 260 261 262 263 264 .. 371 >> Следующая

называются пар дельными.
Приведем теперь без доказательства две интересные теоре которые
справедливы для всех проективных плоскостей, им щих аналитическое
представление в терминах теории полё: Два треугольника АЛуВуСу и дЛ2Я2С2
называются находящим в перспективе относительно точки О, если прямые
АуА2, В% и СуС2 проходят через точку О. Точки, лежащие на одной прямй
называются коллинеарными.
9.61. Теорема (Дезарг), Если АЛуВуСу и аА2В2С2 находятс, перспективе
относительно точки О, то точки пересечения пря АуВу и А2В2, АуСу и Л2С2,
ВуСу и В,2С2 являются коллинеарны
Эта теорема иллюстрируется рис. 9.3: точки пересечения ответствующих
прямых обозначаются через Р, Q и R ц лежат! одной прямой.
, 1
О
ш

> .. *7*
-Y&
s*i"
• *>.<!
.. .•'**
•V(r)
•г •• Ц
> . й . Д
•</
¦5'*
й.
Рис. 9.3.
'/4
ш
¦ ,р
. s Ц
4 > ii
U:
ts*
9.62. Теорема (Пани). Если By, Су - точки некоторй прямой, о А2, Я,, С,-
точки другой прямой, лежащей в той плоскости, ц если прямые АХВ% и А,Яг
пересекаются в точке АуС% и А2Су пересекаются в точке Q, a ДС. н
пересекаюг # точке Я" то точки Р, Q и R коллинеарны.
Рисунок 9.4 является иллюстрацией к теореме Паппа.
.Fi!
§ 3. Конечные геометрии
621
В, <?,
приведенные выше теоремы играют важную роль в проективной геометрии. Если
теорема Дезарга справедлива в некоторой проективной плоскости, то
координаты точек этой плоскости можно задать через элементы некоторого
тела R. В этом случае каждая точка задается упорядоченной тройкой (л:0,
х1У хг) трех однородных координат, где - элементы тела R, не равные
одновременно 0. При этом тройка (ахй, ахх, ад), 0 ф а ? R, представляет
ту же самую точку. Таким образом, если тело R конечно н | R [ - = т, то
для каждой точки имеется т - 1 представлений. Поэтому, поскольку всего
имеется m3 - I возможных троек координат, общее число различных точек
проективной плоскости равно
(т3 - I )1(т - I ) = nr f т -f 1.
Прямая определяется как множество таких точек, координаты которых
удовлетворяют одному из следующих уравнений: х0 + + агхг а2х2 = 0, Xi +
агх* =' 0 или х.г = 0 (at ? R). Таким образом, плоскость содержит т2 + т
+ I прямых, и можно непосредственно проверить, что определенные таким
образом точки и прямые удовлетворяют аксиомам проективной плоскости.
Из теоремы Веддербёрна (теорема 2.55) нам известно, что любое конечное
тело является полем, а именно конечным полем fq. В этом случае уравнение
прямой можно записать в виде aaxQ + Ь агхх + агх,2 = 0, где числа at не
равны одновременно нулю, при этом уравнение (ад) хо + (ад) я* -f (ад) =
0, где a Е TJ, задает ту же самую прямую. Прямая, проходящая через точки
(Уо, Уъ У-i) и (га, zlf z2), может быть также опрелена как множество
точек с координатами (ад + bzb, ад + Ьги ау2 }• Ьг2), где числа а, b б Fg
не равняются одновременно 0. Всего существует <73 - 1 таких троек, а в
силу того, что одновременное умножение элементов а и b на один и тот же
ненулевой элемент задает ту же самую точку, мы получаем, что наша прямая
содержит q -f~ I различных точек.
В проективной плоскости PG (2, 8%) справедлива как теорема Дезарга, так и
обратное к ней утверждение; доказательство этого
К i
Гл. 9. Приложения конечных полей
д.
опирается на коммутативность операции умножения в поле %'q. В о щем
случае, когда координаты точек проективной плоскости явля с я элементами
некоммутативного кольца, теорема Деза р га и ее обра щение могут не
выполняться. Отсюда становится ясной та важна роль, которую играет в этом
контексте теорема Веддербёрна.
Проективная плоскость, в которой справедлива теорема зарга, называется
дезарговой плоскостью, в противном случ|; плоскость называется
недезарговой. Дезарговы плоскости п рядка т существуют только для чисел
ш, равных степеням стых чисел, причем для каждого заданного числа т = рп,
где р простое число, существует с точностью до изоморфизма толь| одна
дезаргова плоскость порядка т. В конечной дезарговЦ плоскости всегда
можно ввести координаты, являющиеся элеме тами некоторого конечного поля.
Так как такое поле существ^ только в случае, когда порядок т этой
плоскости является пенью простого числа, то проективная плоскость, в
которой к дая прямая содержит т + I точек, где число т не является С не
пью простого числа, обязана быть недезарговой плоскости Неизвестно,
существуют лн такие плоскости для гп, не равн степени простого числа.
Если удастся доказать, что с точност^ до изоморфизма существует только
одна конечная проективк! плоскость данного порядка т, то отсюда
получится, что для равного степени простого числа, проективная плоскость
порядка обязана быть дезарговой. Это справедливо для m - 2, 3, 4, 5, 7,
Для простого m известны только дезарговы плоскости. Одна было показано,
что для всех m = pn, п 2, кроме случаев /п и m - 8, существуют и
недезарговы плоскости порядка т. ,|
Из теоремы Паппа следует теорема Дезарга. Кроме того, е в некоторой
проективной плоскости справедлива теорема Пан то кольцо, элементами
Предыдущая << 1 .. 252 253 254 255 256 257 < 258 > 259 260 261 262 263 264 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed