Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
всем исследуемом промежутке. Однако эти так называемые априорные оценки
погрешностей аппроксимации часто получаются чересчур пессимистичными:
фактическая погрешность аппроксимации оказывается существенно меньше
оценки. Вдобавок они требуют громоздких вычислений. Поэтому в подавляющем
большинстве случаев используются апостериорные (т. е. осуществляемые
после проведения вычислений) оценки погреш-
200
Глава 5
ностей. Для решения задачи Коши х(/) при фиксированном t (см. формулу
(5.7.4)) погрешность аппроксимации зависит от:
а) характера исследуемой задачи (вида дифференциальных уравнений,
начальных условий и т. д.),
б) применяемого метода и его порядка,
в) используемого шага h - в данном случае мы считаем его постоянным.
Если же мы фиксировали задачу и метод расчета, то в таком случае
погрешность аппроксимации решения (при фиксированном t) зависит только от
величины шага h. Предположим, что
lira ^- = С^= 0.
л->+о h
Более точно, предположим, что
E(h) = Chp + 0(hp+1). (5.7.9)
Здесь член 0(hp+l) убывает быстрее, чем предыдущий, и при достаточно
малых h мы можем им пренебречь. Подсчитаем две различных аппроксимации
решения Qi и Q2 (при одном t) для двух различных шагов h\ и h2, полагая,
например, h\/h2 = 2 (Qs здесь играют роль переменной х' в (5.7.4), однако
для различных шагов индекс / также будет различным). Обозначим через Q
точное решение задачи. Для вычислений с шагом h\ мы имеем
QX~Q + Chl (5.7.10)
а в случае шага h2
Q2~Q + Chl (5.7.11)
Если рассматривать уравнения (5.7.10) и (5.7.11) как точные,
то они составляют систему двух линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных Q и С. Значение Q, найденное из этой системы,
обозначим Qi2:
(*L )pq2-q,
Qi2 = A7W ' (5-712)
br)
Величина Qi2 не равна в точности Q, поскольку мы пренебрегли слагаемым
0{hp+i) в формуле (5.7.9). Соотношение (5.7.12) и связанный с ним подход
называются экстраполяцией Ричардсона и используются для апостериорной
оценки погрешности аппроксимации:
?i = l!Qi -Q12IL ^2 = IIQ2 - Q12II- (5.7.13)
5.7. Методы моделирования динамических систем
201
Если принять максимально допустимую погрешность аппроксимации равной е,
то мы можем выбрать решение Qi, если Еt < е, или решение Q2, если Е2 < е.
Если же не выполнено ни одно из этих условий, то нам придется повторить
вычисления для меньшего значения шага h3, выбираемого в соответствии с
оценкой
(5.7.14)
Всю схему вычислений можно повторить еще раз, либо с определенной долей
риска остановиться на решении Qз, найденном с шагом Л3. В общем случае
проблема анализа погрешностей аппроксимации оказывается гораздо более
сложной, поэтому читателя, который глубже заинтересуется указанной
проблемой, мы отсылаем к оригинальной литературе.
5.7.1.4. Автоматическое изменение шага h
Очень часто случается, что решение \(t) в разных областях изменения
независимой переменной t обладает различными свойствами и, следовательно,
для того чтобы выдержать предписанную точность, в каждой из этих областей
нужно было бы использовать выбранный метод численного интегрирования с
длиной шага, зависящей от области. Наиболее простой путь заключается в
том, чтобы для всего промежутка интегрирования выбрать некую минимальную
величину шага (найдя ее с помощью апостериорной оценки погрешности
аппроксимации на всем рассматриваемом промежутке). Однако в большинстве
областей интегрирование будет проводиться с излишней точностью и,
следовательно, окажется неэкономичным. Одношаговые методы (см. (5.7.2))
позволяют нужным образом изменять величину шага интегрирования в
зависимости от свойств решения. Простой алгоритм автоматического
изменения шага можно получить на основе апостериорной оценки погрешности
аппроксимации, вычисленной на каждом шаге интегрирования, однако такой
путь неэффективен. Впервые эффективная схема вычислений с автоматическим
изменением шага была разработана Мерсоном (см. табл. 5.18). В случае
метода четвертого порядка нам требуется проводить пять вычислений правых
частей дифференциальных уравнений, т. е. на одно больше, чем в случае
стандартного метода четвертого порядка. Этот "избыток информации"
используется для оценки погрешности на данном шаге:
Е' = || (2к, - 9к3 + 8к4 - к5)/301|. (5.7.15)
Пусть е' - максимальная допустимая погрешность на одном шаге. Если Е' <
г', то полученный результат считается
202
Глава 5
приемлемым, если же Е' > е', то результат считается неприемлемым (и
алгоритм не увеличивает t). В обоих случаях шаг для дальнейшего,
интегрирования подсчитывается по формуле
ЛН0ВЬ1Й = (о/1старый (^)0'2, (5.7.16)
которая соответствует оценке (5.7.14) при р = 5 ( = 1+порядок метода).
Значение параметра "безопасности" со выбирается между 0,8 и 0,9. Тем
самым мы предупреждаем ситуации, при которых выбор шага h = /гновый не
обеспечивает предписанную заранее точность. Фактическая погрешность на
всем промежутке интегрирования тесно связана с величиной е в тех случаях,
когда дифференциальное уравнение не слишком "увеличивает" величину
