Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальных уравнений (5.7.1) различаются на несколько порядков, то
такие системы обычно называют жесткими. Оии описывают результат наложения
нескольких различных процессов, скорости которых существенно различаются
между собой (в частности, быстрых и медленных реакций). Указанное понятие
возникло в связи с численным решением дифференциальных уравнений.
Рассмотрим простой пример. Пусть нам нужно решить дифференциальное
уравнение
*' = -1000*, * (0) = 1 (5.7.18)
методом Эйлера. Точное решение этой задачи имеет вид *(/) = _ g-iooo^ И(
следовательно, при t > 0,01 оно практически равно нулю. Методом Эйлера
(5.7.8) находим
*/+! = ( 1 -lOOO/i)*', лс°=1, (5.7.19)
и, следовательно,
х! = {1 - 1000h)1.
Легко видеть, что при h > 0,002 получим |*'|->-оо при j-*-oo, и значит,
для аппроксимации практически постоянной (равной нулю) функции нам нужно
использовать чрезвычайно малый шаг. В случае "жестких" систем подобными
свойствами обладают все явные методы интегрирования, так что их
применение весьма неэффективно. При этом оказывается, что с практической
точки зрения для интегрирования жестких систем удобны лишь так называемые
A-устойчивые методы. Относительно А-устойчивости данного метода можно
просто судить по его поведению при решении скалярного дифференциального
уравнения
% = (5.7.20)
где X- в общем случае комплексное число с отрицательной вещественной
частью. Численная схема, с помощью которой строится последовательность
значений х1' при постоянном шаге интегрирования h, называется A-
устойчивой, если в рекуррентной формуле
:ti+l = P(hX)xf (5.7.21)
206
Глава 5
множитель Р удовлетворяет соотношению
| Р (hX) | < 1 (5.7.22)
при произвольном h > 0. Это определение по существу представляет собой
требование, чтобы xi-*-0 при произвольном h > 0. Указанное требование
можно усилить; например, для L-устойчивой схемы необходимо потребовать,
чтобы |/,(ЛА,) |->-->-0 при h-*~ оо.
За последние 15 лет был разработан целый ряд численных методов для
решения жестких систем дифференциальных уравнений. Эти методы можно
ориентировочно разделить на три группы. К первой относится
модифицированный алгоритм Гира, основанный на многошаговой схеме типа
предиктор - корректор. Этот метод используется очень широко и включается
в стандартное программное обеспечение многих ЭВМ. Ко второй группе
относятся так называемые полунеявные варианты метода Рунге - Кутты. В
случае автономной системы
-f--i(x) (5.7.23)
одна такая группа методов описывается соотношениями (ср. формулы (5.7.5),
(5.7.6))
k, = h, [I - h,ax J (х')]-1 f (х7), к2 = hj [I - hja2J (x7' + с.кОГ1 f
(x7 + ^kO, (5.7.24)
*1 + 1=-х! +Vlbl+42*2.
где через J = обозначена матрица Якоби.
Коэффициенты а\, а2, Ьи сь yi и у2 приведены в табл. 5.21.
Таблица 5.21. Коэффициенты полунеявных вариантов метода Рунге - Кутты
(5.7.24)
Схема Розенброка Калахана
Порядок 2 3 3
ах 1 - V2/2 1,40824829 0.788675134
0>2 1 - V2/2 0.59175171 0.788675134
bi (V2 - 0/2 0,17378667 -1.15470054
С1 0 0.17378667 0
Yi 0 -0.41315432 0,75
Y2 1 1.41315432 0.25
5.7. Методы моделирования динамических систем
207
Все эти методы Л-устойчивы, в чем можно убедиться непосредственной
подстановкой в уравнение (5.7.20). В этих методах не нужно прибегать к
итерационным процедурам, но необходимо вычислять матрицу Якоби J. Кроме
того, на каждом шаге приходится дважды решать систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных ki и к2.
К третьей группе принадлежат методы, в которых используются вторые
производные решения. Одним из таких методов является схема Линнигера -
Уиллоуби (см. [5.31]).
5.7.4. Системы дифференциальных и алгебраических уравнений
Довольно часто встречаются системы, включающие как дифференциальные, так
и алгебраические уравнения (термин "алгебраический" используется здесь
для обозначения уравнения, не являющегося дифференциальным); возьмем,
скажем, систему
4jT = f(/, х, и), <5-7-25)
0 = g (t, х, u), (5.7.26)
где х е Rn, feR" ие Rm, g е Rm. Системы такого типа возникают,
к примеру, в моделях, описывающих химическую
кинетику.
Для решения системы (5.7.25), (5.7.26) могут быть использованы два
подхода. Первый из них состоит в интегрировании уравнений (5.7.25) с
помощью какого-либо общеупотребительного метода, причем при каждом
вычислении правых частей f решается система m нелинейных уравнений
(5.7.26) относительно неизвестной и. Начальная оценка и для используемой
итерационной процедуры получается из предыдущего этапа вычислений правой
части. Для начального условия
/ = 0: х (0) = х°, u(0) = u°, (5.7.27)
естественно, должно иметь место соотношение
g (0, х°, и°) = 0. (5.7.28)
Второй подход заключается в преобразовании системы алгебраических
уравнений в систему дифференциальных уравнений. С этой целью
продифференцируем уравнения (5.7.26) по переменной t, ив результате мы
получим систему
dg du __________________ dg t dg
208
Глава 5
Для системы п + т дифференциальных уравнений (5.7.25),
