Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 689

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 683 684 685 686 687 688 < 689 > 690 691 692 693 694 695 .. 742 >> Следующая

..., N, h= 1/N. Простейшая такая замена дает вместо (5.8.4)
=П (4-(х;+1 + х?), а), г = 0, 1, .. ., N - 1; (5.8.6)
здесь х' ~ x{zi). Из граничных условий (5.8.5) имеем
(5.8.7)
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае
211
Соотношения (5.8.6), (5.8.7) представляют собой систему
/г(М+1) нелинейных уравнений относительно n((V+1)+1 неизвестных х°, х',
..., хк, Т. Одну из неизвестных мы можем фиксировать заранее (это не
может быть Т, поскольку периодическое решение существует только при
дискретных, заранее неизвестных значениях Т 1>. Однако для того, чтобы
такой подход был успешным, это фиксированное значение должно
соответствовать существующему периодическому решению. Ясно,
Х° х1 X2 XNT
Рис. 5.23. Схема размещения для системы (5.8.6), (5.8.7).
что выбор значения указанной переменной связан с известным риском: при
неудаче мы не знаем, является ли она следствием расходимости выбранного
итерационного метода или же результатом неудачного выбора этой
переменной.
Для решения системы нелинейных уравнений (5.8.6) - (5.8.7) можно
воспользоваться, например, итерационным методом Ньютона. Матрица
размещения для этих уравнений является почти ленточной (ленточный
характер нарушается лишь вхождением неизвестной Т и условиями (5.8.7),
см. рис. 5.23). Для решения линейных систем в случае ленточной матрицы
обычно используется одна из модификаций метода исключения Г аусса.
Предполагается, что система (5.8.1) имеет (при фиксированном а) лишь
конечное число замкнутых траекторий. - Прим. ред.
14*
212
Глава 5
Для уменьшения числа решаемых уравнений можно использовать неравномерную
сетку узловых точек на интервале [О, 1]. Можно также вместо схемы О (Л2)
в формуле (5.8.6) использовать схемы высших порядков.
В табл. 5.22 приведены полученные в результате профили периодического
решения (при различных значениях шага сетки h) для случая задачи 10 (х =
хи у = х2, z = x3). Сравнивая
Таблица 5.22. Профили периодического решения, найденные разностным
.методом (5.8.6), (5.8.7) (задача 10: а = 16, b - 4, г = 200,0). Значение
x(t = 0) = 0 в ходе итераций фиксировано (т е [0, 1], t = 74).
Л=0,02 ft=0,01
т X У г X У г
0,0 од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 -37,8558 - 16,6686 -
9,1232 -49,5720 0,0 37,8558 16,6686 9,1232 49,5720 0,0 -38,3453 -56,5485
6,7628 - 18,4699 -80,6857 38,3453 56,5485 -6,7628 18,4699 80,6857 -
38,3453 184.439 211,622 194.264 140.729 228.809 184.439 211,622
194.264 140.729 228.809 184.439 0,0 -37,7594 -16,3070 -9,0733 -49,0362
0,0 37,7594 16,3070 9,0733 49,0362 0,0 -39,1718 -55,9209 6,4610 -18,1652
-82,5997 39,1718 55,9209 -6,4610 18,1652 82,5997 -39,1718 184.965
212.435 193.447 140.985 224.903 184.965 212.435 193.447 140.985 224.903
184.965
Г = 0,843430 Т = 0,827812
= 0,005 Л=0,0025
т X У г X У г
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 -37,7394 -16,2146 -
9,0561 -48,8735 0,0 37,7394 16,2146 9,0561 48,8735 0,0 -39,3898 -55,7559
6,3894 -18,0803 -83,0988 39,3898 55,7559 -6,3894 18,0803 83,0988 -39,3898
185.095 212,660 193.240 141.044 223.786 185.095 212,660 193.240
141.044 223.786 185.095 0,0 -37,7346 - 16,1913 -9,0515 -48,8307 0,0
37,7346 16,1913 9,0515 48,8307 0,0 -39,4452 -55,7140 6,3718 -18,0584
-83,2248 39,4452 55,7140 -6,3718 18,0584 83,2248 -39,4452 185.127
212.718 193.188 141.058 223.496 185.127 212.718 193.188 141.058 223.496
185.127
Т - 0,823904 Т = 0,822926
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 213
значения периода Т, полученные для различных величин шага h, мы видим,
что при уменьшении шага h период Т стремится К некоторому предельному
значению, приближенно равному ТRe=п 0,8226. Этот предел получается
экстраполяцией по Ричардсону из значений Т при h = 0,005 и h = 0,0025.
Сравнивая теперь найденные значения периода Т с результатами, полученными
с помощью метода стрельбы (см. табл. 5.24), мы видим, что точность,
обеспечиваемая разностным методом, является не очень высокой.
5.8.2. Метод стрельбы
Другим подходом, используемым для вычисления периодических решений,
является переход от краевой задачи к задаче Коши, или метод стрельбы.
Выберем для нашей задачи некоторые начальные условия вида
xi (0)= Ль г=1, 2 п (5.8.8)
и определенное значение периода Т. Тогда систему дифференциальных
уравнений (5.8.4) можно проинтегрировать от точки z = 0, где мы имеем
полные начальные условия (5.8.8), до точки 2=1, используя при этом
методы, описанные в § 5.7. (В случаях, когда задача Коши "более
устойчива" в отрицательном направлении, используется интегрирование от z
= 0 до z = -1. Читатель может легко внести в алгоритм соответствующие
изменения.) В результате интегрирования мы получаем значения неизвестных
х,- в точке 2=1:
*г(1) = Фг(Пь • •Чп, Т), 1 = 1, 2, ...,п. (5.8.9)
Для выполнения условия (5.8.5) необходимо, чтобы удовлетворялась система
п нелинейных уравнений
Pt ("Ль •••, 7') = Фг(Пь •••. "П /г. Л - i\i = 0, г = 1. 2, ..., п
(5.8.10)
Предыдущая << 1 .. 683 684 685 686 687 688 < 689 > 690 691 692 693 694 695 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed