Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 686

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 680 681 682 683 684 685 < 686 > 687 688 689 690 691 692 .. 742 >> Следующая

соответствующих погрешностей, т. е. когда погрешность на М шагах
приближенно равняется М-кратной погрешности, полученной на одном шаге.
Целую группу методов, аналогичных методу Мерсона, разработал в последнее
время Фелберг. При этом правые части системы приходится вычислять большее
число раз, чем минимально необходимо для схемы данного порядка.
5.7.1.5. Погрешности аппроксимации и погрешности округления
В рассматривавшихся до сих пор задачах мы пренебрегали погрешностями
округления; при этом неявно предполагалось, что по порядку они меньше,
чем погрешности аппроксимации. Это предположение несправедливо в случае
повышенных требований к точности решения, т. е. при очень малых значениях
шага h. Рассмотрим теперь схематически зависимости этих погрешностей от
величины шага h. Если мы выбираем в качестве некоторой характерной
величины погрешностей округления погрешности, возникающие при вычислениях
на одном шаге метода интегрирования, а число шагов (при фиксированном t)
равно t/h, то суммарная погрешность округления оказывается
пропорциональной А-1.1) В то же время зависимость погрешности
аппроксимации от шага h определяется формулой (5.7.9). На рис. 5.21а
графически изображен случай р = 1 (метод Эйлера). Из рисунка видно, что
существует нижняя граница итоговой погрешности Е*, меньше которой нельзя
получить с помощью выбора шага h. Если мы хотим получить решение с более
высокой точностью, чем Е*, то нам нужно либо повысить порядок метода
Предположение, что суммарная погрешность округления пропорциональна числу
шагов, не очень реалистично. - Прим. ред.
5.7. Методы моделирования динамических систем
203
(см. рис. 5.21Ь), либо уменьшить погрешности округления (перейти к
вычислениям с двойной точностью).
Замечание. На рис. 5.21 схематически показано поведение погрешностей при
А-"-0. В практических расчетах обычно ис-
Рис. 5.21. Зависимость погрешности аппроксимации (1), погрешности
округления (2) и полной погрешности (3) от шага h. а) р = 1,
Ь) р - 2.
пользуются достаточно большие h - такие, чтобы можно было
пренебречь погрешностями округления.
5.7.2. Многошаговые методы
Многошаговые методы в отличие от одношаговых используют значения решения
и правых частей не в одной, а в нескольких предшествующих узловых точках.
Линейный й-шаго-вый метод в случае постоянного шага h описывается
соотношением
Oftx, + 1 + Oft_iх1 + ... + Oox,+1 k =
= h [pftf'+1 + Pft-if' + ¦ • • + М,+1~']. (5.7.17)
где ak ф 0, > 0 и использовано обозначение fs = f(k,
Xs). Существует целый ряд различных многошаговых методов. В частном
случае а* = 1, а*._1 =-1, а; = 0 при г = 0, 1, ..., k - 2 соотношение
(5.7.17) называется методом Адамса. При р* = 0 эти методы называются
явными, поскольку
(при известных х1'....x'-fe+)) мы можем найти х/+1 из формулы
(5.7.17) неитерационным способом. Такой вариант метода Адамса называют
методом Адамса - Бэшфорта; его коэффициенты приведены в табл. 5.19. В
случае Р* ф 0 методы, описываемые соотношением (5.7.17), оказываются
неявными, поскольку х/+1 входит и в правую часть формулы (5.7.17).
Неявный вариант метода Адамса называют методом Адамса - Моултона, а его
204
Глава 5
Таблица 5.19. Коэффициенты метода Адамса - Бэшфорта в случае погрешности
аппроксимации р-го порядка
А 0 l 2 3 4 P
1 Pft-l-i1"5 1 1
2 2Pft-l-I- 3 -1 2
3 23 -16 5 3
4 24Pft-l 55 -59 37 -9 4
5 720р*_,_г= 1901 -2774 2616 -1274 251 5
Таблица 5.20. Коэффициенты метода Адамса - Моултона в случае погрешности
аппроксимации р-го порядка
A t = 0 1 2 3 4 р
0* $k-i = 1 1
1 Wk-i = 1 1 2
2 12 h-i = 5 8 -1 3
3 24 Р*_г= 9 19 -5 1 4
4 720Р*_г= 251 646 -264 106 -19 5
* Особый случай *1+1 =x^ + hf, + l (неявный метод Эйлера).

коэффициенты представлены в табл. 5.20. При этом для нахождения х'+' (по
известным х', ..., x'-fe+1) мы должны уже использовать какую-нибудь
итерационную процедуру, для которой мы располагаем достаточно хорошим
начальным приближением х1', это начальное приближение может определяться
с помощью какого-либо явного метода. Так возникает метод типа предиктор -
корректор.
Многошаговые методы по сравнению с одношаговыми обладают более высокой
эффективностью, заключающейся в необходимости проведения меньшего
количества вычислений правых частей за один шаг интегрирования при одном
и том же порядке метода. С другой стороны, для их "запуска" приходится
использовать какую-либо иную вычислительную схему (например, одношаговый
метод), поскольку самих по себе начальных условий недостаточно для начала
расчета. Другим недостатком этих методов является трудность реализации
алгоритма в случае автоматического изменения шага интегрирова-
5.7. Методы моделирования динамических систем
205
ния. Такого рода алгоритм, основанный на методах Адамса - Бэшфорта -
Моултона и подробно разработанный Гиром, очень часто используется в
приложениях.
5.7.3. Методы интегрирования "жестких" систем
Если вещественные части собственных чисел матрицы Якоби для правых частей
Предыдущая << 1 .. 680 681 682 683 684 685 < 686 > 687 688 689 690 691 692 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed