Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 679

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 673 674 675 676 677 678 < 679 > 680 681 682 683 684 685 .. 742 >> Следующая

двух значений параметра В в предельном случае у->-оо (когда (5.5.15)
сводится к квадратному уравнению).
Таблица 5.12. Нахождение точек комплексной бифуркации для задачи 1 (у-
^оо, Л = 0,5, (5 = 0,8, 0с = 0).
в е+ Da+
9 1,80248 0,08957
9 2,65906 0,11600
10 1,68425 0,07229
10 3,16190 0,09784
В приведенных примерах мы определяли точки бифуркации Хопфа для задач,
размерность которых не превышала 3. Для задач, описываемых системами
более чем из 3 дифференциальных уравнений, исследователям приходится
обычно использовать различного рода численные подходы. Часть из них будет
рассмотрена в следующих двух пунктах [5.14, 5.15, 5.16].
5.5.2. Методы декомпозиции
В точке комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа) (Xj+, ..., х+, а+)
матрица Якоби J имеет два (взаимно) сопряженных чисто мнимых собственных
числа Xi и Хг, т. е.
Х] 2 - + 1 "V^M+> 03+ > 0. (5.5.16)
Запишем характеристический многочлен матрицы J,
Р(Х) = ХП + о.Х'-Ч ... + ага_,Х + ага, (5.5.17) и представим его в виде
/>(Х) = (Х2 + со+)Р"_2(Х), (5.5.18)
5.5. Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа)
181
где Р"_2(Я)-многочлен степени п - 2. Для нахождения величины со+ (заранее
неизвестной) перепишем Р(Я) в форме
Р (Я) = (Я2 + со) (Яп 2 + р{Хп 3 + ... + рп_3Я + р"_2) + АХ + В.
Коэффициенты pit рп, А и В могут быть вычислены по рекуррентным формулам
Р_1 = 0, Po=h Pk = 4~^Pk-v ^ = i, 2, .." - 2
* d (5.5.19)
А = ап_ч - сор"_3, В = ап - сор"_2.
Величины pi, А и В зависят от х, а и со. При этом для точки комплексной
бифуркации выполняются соотношения
fa+i(xi, ..., хп, а, со) = А(хи хп, а, ю) = 0,
fn+2(xi, хл, а, со) = В(хи ..., хп, а, со)==0.
Таким образом, в общем случае мы имеем (п + 2) нелинейных уравнений
(5.1.3), (5.5.20) относительно (и + 2) неизвестных хь ..., хп, а, со.
Решение этих уравнений позволяет нам найти точку комплексной бифуркации.
Для нахождения решения можно воспользоваться методом Ньютона, а для
вычисления элементов матрицы Якоби в методе Ньютона можно частично (для
нахождения производных от fn+l и fn+2) использовать разностные формулы.
Можно использовать и аналитические выражения, однако в случае больших п
это может оказаться весьма трудоемким.
Отметим, что коэффициенты рп-2 несут информацию
об устойчивости стационарного решения в окрестности точки комплексной
бифуркации (бифуркации Хопфа). Если все корни многочлена с указанными
коэффициентами располагаются в левой полуплоскости (см. § 5.3),
то стационарное решение будет
устойчивым либо при а < а+, либо при а > а+.
Примеры применения описанного метода для трех различных точек комплексной
бифуркации в случае задачи 2 представлены в табл. 5.13. При этом в
качестве параметра а использовалось число Дамкелера в первом реакторе
каскада Dai.
Если матрица J имеет собственное число Я, то матрица J2 обладает
собственным числом Я2. Для собственных чисел
(5.5.16) мы имеем Я2 2 = - со+. Итак, матрица J2 имеет отрицательное
вещественное собственное число -со+ кратности два. Обозначим
характеристический многочлен матрицы J2 через Q(co). Тогда в точке
бифуркации Хопфа имеют место условия
182
Глава 5
Таблица 5.13. Сходимость метода Ньютона для системы (5.1.3), (5.5.20) к
точкам бифуркации Хопфа в случае задачи 2 (у = 1000, В - 12,
|3, = |32 = 2, Sci = 0с2 = О, Л = 0,8, Da2 = 0,2, а = Da,)
Итера- ЦЕ'Я Xi в, *2 02 а ш / 6 -ч 1/2 (й")
0 0,4000 1,0000 0,7000 1,8000 0,1000 0,5000
8.7Е-1
1 0,2740 0,6766 0,6788 1,8553 0,0961 0,4542
2,2Е-2
2 0,2713 0,6651 0,6794 1,8543 0,0956 0,4492
1.8Е-4
3 0,2712 0,6651 0,6794 1,8543 0,0956 0,4491
0 0,4000 1,0000 0,8000 1,5000 0,2000 5,0000
1.4Е-1
3 0,5335 1,6347 0,7374 1,3617 0,1619 0,7836
4.9Е-1
5 0,5051 1,5328 0,7257 1,3931 0,1574 0,8851
2,9Е-4
6 0,5051 1,5328 0,7257 1,3931 0,1574 0,8851
0 0,5000 0,5000 0,5000 2,0000 0,1000 1,0000
8.2Е0
1 0,2946 0,6751 0,8303 2,4168 0,0973 0,9234
2,1Е0
2 1,1108 4,0803 0,2672 -2,2388 0,5450 3,1930
2,8ЕЗ
8 0,8252 2,6636 0,8931 1,1595 0,2541 4,7451
9.6Е0
10 0,8384 2,7097 0,9010 1,1538 0,2730 7,1047
9,6Е-2
11 0,8383 2,7093 0,9010 1,1539 0,2730 7,0957
2,4Е-4
12 0,8383 2,7093 0,9010 1,1539 0,2730 7,0957
Q(-<й+) = 0, Q'(-со+) = 0. Соотношения (5.5.20) заменяются при этом
соотношениями
f п +1 (-^1" • • • > Щ со) = Q (со) = О,
fa+2(x 1, ..., х", а, со) = -^ = 0. (5-5-21)
•Систему f, (x, а,а,) = 0 (/ = 1, ..., п + 2; см. (5.1.3) и (5.5.21))
можно решать методом Ньютона. Если этот метод дает сходимость к точке
(х+, а+, -со+), где со+ < 0, то она не является точкой бифуркации Хопфа,
поскольку тогда матрица J имеет два вещественных собственных числа
^1, 2 = ± V-м+-
5.5.3. Прямые итерационные процедуры
Описываемые здесь методы не требуют вычисления характеристического
многочлена, как в предыдущем пункте.
Пусть и - собственный вектор матрицы Якоби J, соответствующий
собственному числу Я:
Ju = Au. (5.5.22)
5.5. Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа)
18"
В точке комплексной бифуркации мы имеем К = is, seR! и u = v + iw, где v
Предыдущая << 1 .. 673 674 675 676 677 678 < 679 > 680 681 682 683 684 685 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed