Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
и w - вещественные векторы. Разделяя в (5.5.22) вещественные и мнимые
части, получаем
Jv + sw = 0, (5.5.23)
Jw - sv = 0. (5.5.24)
Запишем теперь уравнения -(5.5.23) и (5.5.24) покомпонентно-в виде
fi (*i хп, a, s, vu ..., v", wt, ...,wn) = 0,
i = n + 1, n + 2, ..., 3n, (5.5.25)
где fh i= 1, 2, ..., n,- правые части исходной системы (5.1.1)..
Произведение вектора и на произвольное комплексное число также является
собственным вектором матрицы J, соответствую-
.... хп а S V W
(5.1.3) (r) _
(5.5.23) X X (r) (r) (r)
(5.5.24) X X (r) (r) (r)
Рис. 5.13. Матрица размещения для уравнений (5.1.3), (5.5.23), (5.5.24).
щим собственному числу К = is. Это означает, что, вообще говоря, мы можем
выбрать произвольно две составляющих векторов v и w. Мы не будем
обсуждать здесь условия успешности подобного выбора. Так, могут иметь
место ситуации, когда этот выбор окажется неудачным, однако при случайном
выборе это маловероятно.
Система уравнений (5.1.3) и (5.5.25) представляет собой систему 3п
нелинейных уравнений относительно (Зп + 2) неизвестных (хг,х2, ..., хп,
a, s, V\, v2, ..., Vn, wи w2, ..., wn). Из последних 2n неизвестных мы,
однако, считаем две переменных фиксированными, в результате чего у нас
получается система Зп уравнений относительно Зп неизвестных, решение
которой можно вновь строить с помощью метода Ньютона. Часть элементов
матрицы Якоби нетрудно найти аналитически, а оставшиеся элементы
определить, аппроксимируя частные производные конечными разностями.
Таблица вхождения переменных в уравнения решаемой системы представлена на
рис. 5.13. Она определяет также отличные от нуля элементы матрицы Якоби
(порядка Зп). Те из них, которые можно определить
184
Глава 5
аналитически [), обозначены на рисунке кружком. С учетом выбора двух
компонент векторов v и w (которые остаются фиксированными в ходе итераций
по методу Ньютона), векторы v и w могут иметь размерность в соответствии
с одним из следующих трех вариантов:
1. dimv = n -2, dimw = n, фиксированы 2 компоненты
вектора v.
2. dimv = n-1, dimw = n-1, фиксированы по одной ком-
поненте векторов v и w.
3. dim v = я, dim w = ti - 2, фиксированы 2 компоненты
вектора w.
Пример сходимости метода Ньютона при решении системы уравнений (5.1.3),
(5.5.23), (5.5.24) приведен в табл. 5.14. В таблице указано, какие две
компоненты векторов v и w выбирались фиксированными. Предлагаем читателю
сравнить найденную точку комплексной бифуркации с результатами,
представленными в табл. 5.13.
Еще один метод, который мы здесь рассмотрим, основан на аналогичном
принципе, однако размерность решаемой нелинейной системы оказывается
более низкой (2п вместо 3я).
Из уравнений (5.5.23) и (5.5.24) легко находим
J2v + s2v = 0. (5.5.26)
Запишем (5.5.26) в виде
fi (*ь ¦ ¦¦, хп, а, а, "о . . ., о") = 0, i = п + 1, . .., 2п,
(5.5.27)
где использовано обозначение co = s2. Таким образом, мы имеем систему 2п
нелинейных уравнений (5.1.3), (5.5.27) относительно 2п + 2 неизвестных хи
¦¦¦, хп, а, со, щ, ..., vn¦ В векторе v мы снова можем произвольно задать
две его составляющие. На рис. 5.14 представлена "таблица вхождения"
неизвестных для решаемой системы. Элементы матрицы Якоби (порядка 2п),
которые можно легко найти аналитически, обозначены кружками. Характер
сходимости метода Ньютона хорошо виден из табл. 5.15.
В заключение параграфа сравним особенности методов, описанных в пп. 5.5.2
и 5.5.3. Так, если сравнивать ограничения •на объем памяти и число
операций для каждого из этих мето-
11 В предположении, что производные правых частей исходной системы no Xj
н а находятся аналитически. - Прим. ред.
Таблица 5.14. Сходимость метода Ньютона к точке бифуркации для системы
(5.1.3), (5.5.23), (5.5.24) в случае задачи 2 (у = 1000, В - 12, Pi = р2
= 2, 0ci = всг = 0, Л = 0,8, Da2 - 0,2, а = Dai).
Номер
итера-
ции
01
Vi
/ 12 \ 1/2 Cs")
0,5000
0,3531
0,2917
0,2713
0,2714
0,2712
1,0000
0,9915
0,7728
0,6701
0,6658
0,6651
0,7000
0,6149
0,6178
0,6696
0,6793
0,6794
1,9000
1,0634
1,5015
1,8082
1,8533
1,8543
0,1000
0,1410
0,1139
0,0980
0,0957
0,0956
0,7000
0,7346
0,6250
0,6619
0,6710
0,6702
1,0000 1,0000
1,0000 1,0000
1,0000
4,5930
3,9275
3,8409
3,7973
3,7990
1,0000
11,7247
8,2677
6,8199
6,4110
6,4239
1,0000
0,2824
0,4104
0,4261
0,4341
0,4339
1,0000
3,4724
3,2657
3,3781
3,4675
3,4648
1,0000
3,1896
3,0732
3,5048
3,5808
3,5813
1.0000
33,0158
26,8698
30,7556
32,0305
32,0553
1,2 El
3.0 El
5.6 Е0
9.6 Е-1
4.0 Е-2
9.0 Е-6
0,40000 1,0000 0,7000 1,8000 0,1000 0,5000 1,0000 1,0000
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
1,1 Е1
0,2712 0,6651 0,6794 1,8543 0,0956 0,6702
1,0000 1,0000 3,7990 6,4239 0,4339 3,4648
3,5813 32,0553 6,2 Е-6
Таблица 5.15. Сходимость метода Ньютона при определении точки бифуркации
Хопфа из системы (5.1.3), (5.5.27) в задаче 2 (у = 1000, В = 12, 0ci =
0сг = 0, р4 = р2 = 2, Л = 0,8, Da2 = 0,2, а - Dat).
Номер итерации е, XI е2 а S2 Ol "2 О"
