Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(2.308). Следует подчеркнуть, однако, что в (8.124) входит плотность
лагранжиана X, а в (2.308) входит полный лагранжиан L.
Можно ввести плотность канонического импульса я, определив ее
соотношением:
* = д-§. (8-125)
°Ъ
а также плотность гамильтониана, определив ее соот-ношением [ср.
(5.104')]:
Ж = п\-%. (8.126)
Из вариационного принципа (8.119) можно теперь найти:
\\b{ni-^)dxdt--=Q, (8.127)
а вспоминая, что Ж есть функция л, | и дЦдх, мы получим способом,
аналогичным тому, который был использован при выводе (8.121):
ш
¦7^)бл-(я + ^г) 6gjfif*<# = 0. (8.128)
Из (8.128) сразу же получается:
й тт__ (R 19Q^
л-----Ж' (8Л29)
где мы заменили дж/дп функциональной производной 8ж/8л, чтобы получить
симметричные выражения. Отметим, что уравнения (8.129) отличаются от
канонических уравнений (5.108), полученных нами ранее, в трех отношениях:
вместо обычных частных производных появились функциональные производные,
вместо полного гамильтониана фигурирует плотность гамильтониана и,
наконец, импульс сменился на плотность импульса.
Если этот канонический формализм использовать
в случае одномерных упругих волн, мы найдем из (8.125):
л = р?, (8.130)
а сравнивая полученное выражение с (8.111) и вспоминая 212
(8.106), мы обнаруживаем, что величины пк - это фурье-компоненты
плотности импульса л, соответствующие волновому числу -k. Из определения
(8.126) для плотности гамильтониана получается выражение:
'"-"и
которое можно получить также из (8.112), используя равенства (8.130),
(8.115) и (8.117). Мы замечаем, что в этом случае плотность гамильтониана
совпадает с плотностью полной энергии .
Из первого уравнения (8.129) получаем:
| = л/р, (8.132)
что совпадает с (8.130); второе уравнение (8.129) дает:
п = Е^. (8.133)
Волновое уравнение (8.101) сразу же получится, если рассмотреть совместно
(8.132) и (8.133).
Обобщение теории, развитой здесь, на случай нескольких переменных и на
трехмерные системы производится совершенно непосредственно. Например, для
звуковых волн в трехмерной среде компоненты г), ? вектора смещения | (лс)
будут функциями х, у, г; лагранжиан будет функцией I, ц, ?, |, г], I,
дЦдх, дЦду, дЦдг, дч\1дх, drуду, дчудг, dt,/dx, д^/ду и дЦдг. Для каждой
из трех компонент мы будем иметь уравнение Лагранжа вида (8.124), а
функциональные производные будут уже определяться так:
6t = <!L_<LJ[______________,о 1од\
б| д1 дх д\ ду д| дг д\' \ )
дх ду дг
В следующем параграфе мы используем как формализм функциональных
производных, так и формализм, опирающийся на компоненты Фурье.
§ 8.2. Звуковые волны; уравнения Максвелла
Физическая система может быть определена уравнениями движения, которым
она должна удовлетворять, или же -на равных правах -ее лагранжианом.
Первый случай как раз и имел место для тех систем, которые
рассматривались в этой книге. Второй случай часто встре-
213
чается в различных полевых теориях. В этом параграф* мы убедимся, что
выбор определенного лагранжиана (или, точнее, плотности лагранжиана)
приводит к определенным уравнениям движения для рассматриваемой системы,
но мы не станем поступать здесь так, как поступали в предшествующих
главах и даже предшествующем параграфе,-мы не станем получать лагранжиан
из уравнений движения. Мы займемся сначала звуковыми волнами, а затем и
уравнениями Максвелла, исходя из подходящей плотности лагранжиана. После
этого проанализируем уравнения Максвелла методом компонент Фурье.
Докажем, что волновое уравнение для звуковых волн
р - s2Vsp = 0 (8.201)
может быть получено, если считать плотность лагранжиана равной
¦"= l-(i-i)-|5*(v-S)e. (8.202)
В этих выражениях через р обозначена плотность рассматриваемой системы,
постоянное (равновесное) значение которой равно р0, через s - скорость
звука, а через | - вектор смещения с компонентами ?, rj, ?. Плотность р и
смещение ? связаны между собой уравнением непрерывности:
Р + Ро (V-i) = r или ±=P!L = _(V.g). (8.203)
Ро
Из лагранжиана (8.202) мы найдем:
• дХ I
•=т1>
дХ г. дХ
дт)
дХ дХ _ дХ 0.
11" - "5Г ' (8-204)
.__sa (V • |)дХ дХ
>0.
а.|5_ ' ер-
дх ду дг
дХ дХ = дХ дХ = дХ = дХ aii a*L дК
ду дг дх дг 0 дх ду
Из этих уравнений вытекает, что
ag - 5 (v • D - 6С ' (8.205)
814
н ка (8.124) мы получаем уравнение I - s*V (V.fc)-O,
(8.206)
которое превращается в (8.201), если взять дивергенцию обеих частей этого
уравнения и учесть (8.203). Из (8.204) и (8.125) найдется вектор
плотности импульса:
я- 1, (8.207)
а из (8.126) -и гамильтониан системы:
^ = |".n + ls*(V.|)'. (8.208)
Уравнения (8.129) снова приводят нас к (8.206).
И наконец, в заключение этого параграфа мы обратимся к электромагнитному
полю. Магнитная индукция В, напряженность магнитного поля Н, вектор
электрической индукции D и напряженность электрического поля Б
удовлетворяют в вакууме уравнениям
B = ii0H, D = e0E, (8.209)
а также уравнениям Максвелла:
(I) <V.D,-P; (") (V.*,_0;
(III) [V, EJ---М.; (IV) [V,
где через р и J обозначены плотности заряда и тока,
