Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечным числом переменных. Это обычно получается тогда, когда вместо
переменных где k-\, 2, ..., s, мы имеем одну (или более одной)
совокупность переменных Q(x)\ эти переменные Q (х) являются функциями
непрерывной переменной х, точно так же как величины qk следовало считать
функциями дискретной переменной k. Такая ситуация возникает в двух
существенно различающихся между собой случаях. Во-
205
первых, имеются сплошные среды, такие, например, клк газы или жидкости.
Во-вторых, имеются поля. Мы рассмотрим примеры как для одного, так и для
другого случаев.
Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться
формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит
весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к
установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов,
довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень
сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают
предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае
результат обобщают затем на произвольные системы. Другой способ
заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом
обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы
здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их
фурье-коэффи-циенты в качестве обобщенных переменных.
Преимущества этого метода двоякие. Прежде всего, теперь мы имеем дело с
функцией дискретной переменкой k (по крайней мере до тех пор, пока можно
считать систему заключенной в конечный, пусть даже сколь угодно большой,
объем), вместо того, чтобы рассматривать функции непрерывного аргумента
х. Во-вторых, теория в ее канонической форме более удобна для
квантования, а сами фур ь.е-коэффициенты часто используются как операторы
рождения и уничтожения. Наилучшим примером применения такого подхода
может служить электромагнитное поле. Однако мы отложим обсуждение этого
случая до следующего параграфа. Для электромагнитного поля возникают
присущие только этому случаю трудности, связанные с наличием условия
калибровки Лореица, и поэтому в качестве основы для нашего подхода мы
выберем продольные упругие волны в одномерной сплошной среде. На этом
примере мы постараемся проиллюстрировать основные идеи метода.
Проблема, которая встала перед нами, может быть описана следующим
образом. У нас есть совокупность уравнений движения (уравнения Максвелла
в случае электромагнитного поля, волновое уравнение в случае звуковых
волн и т. д.), описывающих интересующее нас явление вполне
удовлетворительным образом. Мы пред-
206
Почли бы, однако, записать 9ти уравнения движения в канонической форме;
другими словами, нам хотелось бы подобрать новую совокупность переменных
и гамильтониан, который был бы функцией этих переменных, таких, что
уравнения движения могли бы быть написаны в канонической форме (5.108).
Найдя как нужные переменные, так и гамильтониан, мы сведем задачу к тому,
как ввести канонический формализм, если исходные переменные были
функциями непрерывно изменяющейся переменной.
Одномерные продольные упругие волны описываются волновым уравнением
p!-?jj = 0, (8.101)
где через l(x, t) обозначено смещение среды в момент времени ( в точке х,
через р обозначена плотность среды, а через Е - модуль Юнга той же
среды. Предполагается,
что среда имеет конечную протяженность L. Мы можем
потребовать, чтобы I (или же дудх) обращалась в нуль на границах, и тогда
? (х, () можно разложить в ряд Фурье:
g(jc,0 = 25*(0sin&c, (8.102)
к
где k принимает значения nn/L (п = 0, 1, 2, ...). Более удобно, однако,
воспользоваться периодическими граничными условиями, наложенными на ?:
&(* + L, 0 = S(*. 0. (8.103)
чем накладывать условие обращения в нуль ? (или дЦдх) на концах стержня.
Следует подчеркнуть здесь, что очень мало можно сказать в оправдание
предположения (8.103); оно используется в силу своего удобства, и, кроме
того, обычно реальные граничные условия не оказывают влияния на решение
задачи, так что их можно выбирать, сообразуясь с удобством, в частности,
согласно (8.103). Надо добавить еще, что оказывается очень удобным
пользоваться вместо разложения (8.102) рядом Фурье в комплексной форме:
l(x, t) = L-v^lh{t)etkx, (8.104)
к
где волновые числа k могут уже принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Если мы пользуемся разложением (8.104), то'?А уже
комплексны, тогда как It, входившие в (8.102), были действительными чис-
SQ7
лами. Следствием этого будет то, что в гамильтониане (8.112) и
лагранжиане (8.110) вместо квадратов величия lk, появятся произведения
вида
Мы обращаем внимание на то, что, поскольку ? (х, fy - величина
действительная, величины \k и не являйтся двумя независимыми комплексными
переменными (т. е. соответствующими четырем независимым переменным), ибо
они должны удовлетворять равенству
= (8.105)
таким образом, мы имеем столько независимых переменных, сколько значений
