Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
91 всем интервале энергий, и поэтому (при Y > !/3) применить соотношения
OO
S (ІК=№) г m тмг"^
OO OO
fl V \»/\» /
K4M)di\ \dS
v/v^
_ I/ У+т/з г f 3V ~ 1 ^ Г f 3V + 7 4I Г 3gff sin XIV» (V-I) /4 Y + 1 V. 12 / V 12 /L 2jtmVv J
(5.42)
где Г(х) —гамма-функция Эйлера. Тогда (см. (5.35)) получим следующее выражение для интенсивности излучения системы электронов с энергетическим спектром (5.41) в однородном магнитном поле Н:
/ Ґ1Л — -V^ Г ( 3V - 1 4I г Г 3V+19 4I е3 ( Зе у/'<у-»ч, ilW-V+l I 12 J v 12 ) mc2 \2ят*сЧ А
X^(k)(//sinX)'/2,Y+!'v"/2(Y-1,> (5.43)
где Ke (к) — коэффициент в (5.41).
Допустим, что распределение электронов можно считать однородным и изотропным, т. е.
N(S, R, k) = ^-Ne(S),
где
Ne (S) dS == KeS~y dS (5.44)
есть число электронов в единице объема с произвольными направлениями движения и с энергиями в интервале S, S -{- dS. Тогда
Ke(k) = -^KeL, (5.45)
где Ke — коэффициент в (5.44), a L — протяженность излучающей области по лучу зрения. Заметим, что в общем случае Ke(V) зависит от угла х между направлением магнитного поля и лучом зрения.
В случае однородного поля степень поляризации излучения зависит только от показателя у в спектре (5.41) и, как можно убедиться с помощью (5.30) и (5.42), равна
По = ^, (5.46)
что составляет 75% при у = 3 и 69% при у = 2.
В применении к синхротронному излучению космических электронов формулы (5.43) и (5.46), вообще говоря, непри*
92 годны, так как наблюдаемое излучение собирается из большой области пространства, в различных участках которого магнитное поле ориентировано по-разному. Скорее можно считать, что на луче зрения направления магнитных полей в среднем хаотичны. В этом случае поляризация излучения отсутствует, а интенсивность легко найти, усредняя (5.43) по всем направлениям магнитного поля. Поскольку
л
V2J(Sinx)
Vj(Y-H) • J У11 Y sin X d% = —
_ г ('/4 (V+ 5))
2 г ('My+ 7))
(5.47)
то указанное усреднение приводит к следующему выражению для интенсивности излучения в случае однородного и изотропного распределения электронов с энергетическим спектром (5.44) в хаотическом магнитном поле:
Iv = і — а(у)
тс'
( 36 \
V 4лт3са J
v2(y-i) ^v2 (y + о^д v-v2 (y-i)
= 1,35 • 10_22а (у) LKeH
, (у-И) ^ 6.26- IO'8 у/г (y-I)
эрг
(5.48)
см2•ср•с • Гц
Здесь Ke — коэффициент в (5.44), отвечающем единице объема, под /-/v2(yh) следует понимать среднее значение этой величины в излучающей области и а (у)—коэффициент, зависящий от показателя энергетического спектра у:
а (у) = 21'2 Уз Г ((Зу — 1)/12) Г ((Зу + 19)/12) Г ((у + 5)/4) 5 49) 8 V^ (Y+1) Г ((Y+ 7)/4)
Значения коэффициента а (у) наряду со значениями приводимых ниже других величин сведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Y 1 1,5 2 2,5 3 4 5
a (Y) (Y) 0,283 0,31 0,149 0,22 0,103 0,15 0,083 0,11 0,074 0,074 0,073 0,036 0,087 0,018
У і (Y) У2 (у) 0,70 0,0005 1,29 0,013 1,80 0,049 2,26 0,106 2,70 0,178 3,50 0,347 4,28 0,534
Как видно из выражений (5.43) и (5.48), степенному энергетическому спектру излучающих частиц с показателем степени у соответствует степенной частотный спектр излучения
/V~v~a, 0==I/2(V_1). (5.50)
Ввиду большой роли, которую играет формула (5.50), получим ее также простым приближенным способом. Именно, пренебрежем шириной спектра излучения одного электрона, полагая, что все излучение происходит на частоте v = vm, отвечающей максимуму в спектре (см. (5.40)) . Тогда энергия электрона
93 выразится через частоту v, причем S2 = (v/0,29) (Anm3с5/ЗеHх). Далее полная мощность излучения ультрарелятивистского электрона равна известному выражению (см. (5.24))
Hi(^r)8.
При сделанных предположениях для электронного спектра (5.44) интенсивность излучения, собираемого с пути L, равна
I^dv = &K,g-yd& =
= (V)^r (5.51)
где a'(v) = 0,31 (0,24)'^fV-I) и учтено, что для хаотического поля в среднем H21 = 2I3H2. Формула (5.51) отличается от (5.48) лишь заменой множителя а (у) на а'(у), причем для значений 1 < у < 4 эти множители различаются не более чем в два раза (см. табл. 5.1).
Помимо интенсивности Zv, часто используется излучательная способность гг, равная энергии, излучаемой в единицу времени из единицы объема в единичном телесном угле. Легко видеть, что для изотропного (в среднем) излучения, собираемого на пути L,
Bv = IJL. (5.52)
Иногда используется также излучательная способность единицы объема для всех направлений излучения. Для изотропного излучения она равна 4nev. В случае синхротронного излучения электронов со степенным спектром фигурирующая здесь интенсивность Iv определяется выражением (5.48). Для моноэнергетических электронов, очевидно,
eV = jIJl^' (5-53)
где p(v)—мощность полного излучения (см. (5.39)) и Ne — концентрация излучающих электронов (см. также (5.37) с Ne (k) =NeLfin).
Максимальная излучательная способность, т. е. излучение на частоте Vm (см. (5.40)), равна
в* - = -?" Ne « 0,13 Ne=IJ. 10-23H1Ne Эрт
v-m 4п 1 е ' тс2 е " е см3-с-ср-Гц '
