Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где ip = X — а — разность углов между v и H и между к и Н; угол т|5 есть, очевидно, угловое расстояние между образующими конуса, описываемого вектором v, и направлением волнового вектора к (если векторы v, к и H лежат в одной плоскости, как это бывает в соответствующий момент времени, то угол ф по абсолютной величине равен углу 0). В (5.14) е — абсолютная величина заряда (заряда электрона) и, по определениюсо^ > 0. Для положительно заряженной частицы (позитрона) амплитуда поля является комплексно сопряженной по отношению к Efl согласно (5.14), что отвечает противоположному направлению вращения электрического вектора. Далее в (5.14) Ii и I2 — два
*) Необходимо помнить об использовании различных обозначений. Так, в [49] угол между v и H обозначен через 0, а здесь — через % (у нас 0 — угол между vak).
OO
(5.13)
2еа>н п
? —_--JL--
п Vs ЯСR Sin5 X
{(?> + V) къ (gn) I1 + п|> (I2 + ^2)''2 къ (gn) 12},
(5.14)
тс-
81 взаимно ортогональных единичных вектора в картинной плоскости, из которых І2 направлен по Hj., a Ii = [bk]/k (рис. 5.3). Наконец, Кч, (gn) и Ky3(Sn) —бесселевы функции второго рода
от мнимого аргумента g„ (функции Макдональда; см., например, §§ 8.4, 8.5 в |62]),
л\Иартинная плоскость
Sn =
3 sin' %
-¦ё-о+Я"- (5л5)
Рис 5.3. Эллипс колебаний электрического вектора в волне, излучаемой частицей, движущейся
в магнитном поле Заряд считается отрицательным (электрон); для положительно заряженной частицы (позитрона! направление вращения противоположно указанному, сTC — картинная плоскость і плоскость, перпендикулярная к направлению излучения, или, что то же, к направлению наблюдения), Ii и I2-два взаимно ортогональных единичных вектора в картинной плоскости, из которых!, направлен вдоль H j_ — проекции магнитного поля H иа картинную плоскость.
Во втором из равенств (5.15) мы перешли от номера гармоники к частоте V = со/2я = псо^/2зт sin2x и ввели обозначение
3oя sin %
4я?3
4 птс
\ тс2 J
(5.16)
Присутствие в выражении (5.14) мнимой единицы перед вторым членом в фигурных скобках соответствует эллиптической поляризации излучения. Одна из осей эллипса колебаний электрического вектора направлена вдоль Hi, а вторая (большая) — перпендикулярна к Hi. Отношение осей, которое обозначим через tg ?, в силу (5.14) равно
tg? = -
(Sn)
(I2 + К,,, (?)
(5.17)
При ф > 0 направление вращения — левое (для наблюдателя— против часовой стрелки), а при ф < 0 — правое, причем угол т|5 считается положительным, если X > а, т. е. вектор к лежит внутри конуса скоростей (см. рис. 5.3).
Поляризация вырождается в линейную только при г|> = О, т. е. если волновой вектор лежит строго на поверхности конуса скоростей. При больших Ip поляризация стремится к круговой, поскольку для больших значений аргумента Kv, (-?) ~ КчЛх) яй (я/2*) 'І2е~х\ однако интенсивность излучения при этом становится пренебрежимо малой (см. ниже рис. 5.4).
Поле излучения можно охарактеризовать «тензором поляризации излучения», по определению равным
= (5Л8)
82 где а, ? = 1, 2 и En, а — компоненты электрического вектора, фигурирующего в (5.13), (5.14), причем средняя за период плотность потока энергии (вектора Пойнтинга) в п-й гармонике равна
Pn = Spрар(л) = рц -M22 = -^-I EJ2. (5.19)
В области высоких гармоник спектр излучения практически непрерывен, V = со/2я = па*н/2л sin2x и вместо р„ удобно вести «спектральную плотность тензора поляризации»
drt 2JX sin^ у Pa3 M = Pap (п) — =--тг-Pap (")• (5-20)
Для поля ультрарелятивистского электрона введем функции (здесь gv = gn, см. (5.15)):
2 * 2 / 2 \ 2 ft" ^n (V)= ы^п'хШ (1 +? (5-21)
Pi2' - Рг> (V) = г (^) ( 1 + ?K0?v). (5-22)
P 12 (V)=P21 (v) =
= ~ 1 X OJO (5.23)
Очевидно, Pi^dveсть поток излучения в интервале частот dv, причем электрический вектор в волне направлен по Ь; аналогично направление 2 характеризуется вектором I2. Спектральная плотность потока излучения для обеих поляризаций
Pv = Pl1' + Pf-
Если на основе выражений (5.21) и (5.22) вычислить полный поток энергии излучения через фиксированную поверхность, т. е. вычислить интеграл от плотности потока по всем частотам и направлениям, то он в согласии с (5.12) оказывается равным = <%/sin2^, где 31— обусловленные синхротронным излучением потери энергии ультрарелятивистским электроном (см. (4.37), (4.39)); для удобства приводим выражение для 31 еще раз:
Ze4H2, ( S \2 „ Ґ е2 \2 2 / <У \2
Я= —=wb?v /з• (5-24)
Различие между 3і и 31, как уже подчеркивалось, связано с нестационарностью (при % ф 1 /2л) поля излучения, усредненного за период обращения электрона. Действительно, при винтовом движении электрон приближается к наблюдателю, и ЛИШЬ при X = 1An (круговое движение) центр его орбиты
83 остается неподвижным. В силу закона сохранения энергии полный поток энергии через фиксированную поверхность о равен
, ^= J ?v dv da = Я - -I- J + dV. (5.25)
CT
При приближении электрона к «наблюдателю» (т. е. к поверхности а) энергия поля, локализованного между излучателем и поверхностью а, изменяется — этим и объясняется различие между 0і и Я.
