Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
OO
= j^y1 S dS dR N R> k> H sin X Ш S (tI) drI- (5-35)
v/vc
Здесь в общем случае напряженность поля Н, угол ос да х ме" жду H и к, а также плотность (концентрация) частиц N(&, R, к) зависят от R.
Аналогичным образом можно выразить остальные параметры Стокса, например j
Q (V, k) = \ dS dRN (<Г, R, к) H sin X cos 2х (^-) Ky3 (•?-) . '
(5.36)
Параметр Стокса U(v, к) отличается от Q(v, к) только заменой cos 2х в подынтегральном выражении (5.36) на sin 2%. Что касается параметра V(v, к), который характеризует присутствие эллиптически поляризованного излучения, то он в рассматриваемом ультрарелятивистском приближении оказывается равным нулю. Действительно, как легко убедиться из (5.17) и (5.28)
В силу нечетности этой функции интеграл от нее по всем ф обращается в нуль и, следовательно, V(v, k) = 0. Таким образом, излучение системы электронов оказывается линейно поляризованным. Этот результат справедлив с точностью до членов порядка тс2/<§, и его легко понять, если вспомнить, что знак ip определяет направление вращения электрического вектора в волне, излучаемой отдельным электроном. Поскольку мощность излучения (см. (5.21) и (5.22) или (5.26) и (5.27)) не зависит от знака о|), а распределение частиц по направлениям движения в пределах очень малых углов тс2/S практически по-
стоянно, то вклад в излучение в данном направлении от частиц с положительными и отрицательными ф одинаков, и поляризация будет линейной.
Заметная эллиптическая поляризация в ультрарелятивистском случае могла бы возникать лишь при резко анизотропном распределении скоростей электронов. Для этого необходимо, чтобы распределение существенно изменялось в пределах очень малого угла | -ф | ~ тс2JS и притом как раз в направлении наблюдения. Если кроме того учесть возможные флуктуации направления магнитного поля, то ясно, что для реализации такой возможности нужны весьма специальные условия (в этом плане особенно интересны пульсары).
89 Приведем теперь выражения для интенсивности и поляризации излучения в некоторых конкретных случаях, в частности важных при астрономических применениях.
Если все электроны обладают одной и той же энергией (моноэнергетический спектр), а магнитное поле однородно, то интенсивность излучения, согласно (5.35), равна
OO
Ii (k) =Viil Ne (к) Я sin X V" \ K^h)dy]^Ne(k)p(v), (5.37)
тсJ vc J
vlvc
где Ме(к) = ^ Afe(R, к)dR — отнесенное к единичному телесному
углу число электронов вдоль луча зрения, скорости которых направлены в сторону наблюдателя.
Степень поляризации в этом случае, как можно видеть из (5.30) и (5.36), равна
OO
Vfvc
= ( 1I2 при V < Vcl
11 —2/з (vc/v) при v>vc.
(5.38)
Поскольку в рассматриваемом приближении интегрирование по угловому распределению электронов равносильно интегрированию мощности излучения отдельного электрона по всем направлениям, то выражение (5.37) лишь множителем Ne(к) отличается от спектрального распределения мощности полного (по всем направлениям) излучения отдельного электрона:
с»
,— е3# sin Y1 Vf Ґ— BiH I / V \
P(V) = V3-7^- \ = V3 (5.39)
Vlvc
OO
График функции F(x) = x ^ Ky3 (п) du], отражающей спек-
X
Тральное распределение излучаемой мощности, представлен на рис. 5.6, а ее значение вместе с значениями функции Pp(я) = хКу3 (х) даны, например, в приложении 4 в конце книги
90
Рис. 5.6. Спектральное распределение мощности полного (по всем направлениям) излучения заряженной частицы, движущейся в магнитном поле (см. (5.39)). [59] (как ясно из (5.38), поляризация П = Fp{x) /F (х)). Отметим, что максимум в спектре синхротронного излучения отдельного электрона приходится на частоту
ен, / s v с / s у
vm ~ 0,29v = 0,07—M—г - 1,2 • 106Я . —г =
т 'с ' тс \ тс2 / ' J-V тс2 J
= 1,8 • IOwW1 (S (эрг))2 = 4,6 • 10_6Ях (S (эВ))2. (5.40а)
Здесь частота v выражена в герцах.
Для максимальной частоты (5.40а) спектральная плотность мощности полного излучения отдельного электрона равна
А» = P (vm = 0,29vc) « 1,6-^ = 2,16- 10"22ЯХ эрг • с"1-Гц"1.
(5.406)
Если не говорить о численном коэффициенте, т. е. иметь в виду лишь оценку по порядку величины, то к последнему соотношению легко прийти следующим образом. Как ясно из качественных соображений или из рис. 5.6, ширина спектра излучения электрона Av ~ Vc ~ (еН Jmc) (S/тс2)2. Полная мощность синхротронного излучения с учетом сделанных выше замечаний может быть положена равной потерям (5.24). Очевидно, средняя спектральная плотность мощности излучения
- 9 (s) 9 (s) е3н,
P (v) ~ —J-----2~ ,
' 4 ' Av vc тс2
что согласуется с (5.8), и эта оценка здесь повторена для удобства.
Энергетический спектр электронов вдоль луча зрения часто можно аппроксимировать в ограниченном интервале энергий степенной функцией вида
Ne(S, k)dS = Ke(k)S~ydS, <Гі<<Г<<Г2. (5.41)
Здесь Ne(S, k) —число электронов на луче зрения, движущихся в направлении наблюдателя, отнесенное к единичному телесному углу и единичному интервалу энергий.
Для ответственных за космическое радиоизлучение электронов такая аппроксимация обычно бывает пригодна в достаточно широком интервале энергий, причем границы Sx и Sz спектра (5.41) часто можно считать такими, чтобы в интересующем нас интервале частот излучение электронов с энергиями S < Si и S > S-I было несущественным. В этом предположении в интегралах (5.35) и (5.36) функцию (5.41) можно использовать во
