ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Геометрия и числа
23
геометрическим фигурам. А числа греки видели повсюду. Весь их мир в его наиболее чистом абстрактном виде — единственном виде, достойном изучения, — был построен на соразмерных, или рациональных, числах!
То, что они представляли себе как континуум рациональных чисел — бесконечную и непрерывную последовательность чисел, выразимых в виде отношения двух целых чисел, — составляло, по их мнению, совершенную метафору для описания столь же бесконечной и непрерывной геометрической фигуры, какой является прямая. (Недолгая жизнь этой иллюзии закончилась с открытием такой невероятной и невыразимой сущности, как иррациональные числа — по-гречески aXojou10; здесь следует упомянуть Евдокса Книдского, который приблизительно в 360 году до н. э. предпринял до некоторой степени удачную попытку спасти положение.)
О О# ООФ ООО
•• ООФ ООО
ФФФ ООО
фффф
ООО о
•• ?)0 оо
••• ООО
••••
Рис. В7. Вверху: квадратные числа. Внизу: треугольные числа.
Грекам было известно, что два квадрата геометрически подобны, так же как и два равносторонних треугольника — в общем виде, подобны два любых правильных многоугольника с одинаковым числом сторон. Основываясь на геометрическом подобии, греки разработали концепцию числового подобия и потратили впоследствии немало времени и сил на изучение фигурных чисел: треугольных, квадратных, пятиугольных и т.д. Количество бусин, заключенных внутри какой-либо из квадратных рамок на рис. В7 (вверху), до сего дня называется квадратом соответствующего числа, в то время как другие фигурные числа (треугольные, например — см. рис. В7, внизу) не имеют ныне никакой практической ценности и могут служить разве что в качестве математических игрушек.
Греки видели закономерность 1+3 = 4,4+5 = 9, 9+7 = 16,16+9 = 25 и т.д. и, очевидно, понимали, что последовательность 1, 4, 9, 16, ... представляет собой последовательность квадратов натуральных чисел. Их пора-
ю
Невыразимый, неисчислимый (греч.) — Прим. перев.
24
Введение: гномоны
зил тот факт, что сложение любого члена этой последовательности с соответствующим членом последовательности нечетных чисел 3, 5, 7, 9, ... дает в результате следующий член последовательности квадратов. На рис. В7 (вверху) показана геометрическая интерпретация этого наблюдения: квадратные числа представлены квадратами, составленными из белых бусин, а добавляемые к ним нечетные числа изображены в виде L-образных фигур из черных бусин. Благодаря своей форме, эти L-образные фигуры и были названы гномонами. Добавление к фигуре каждого последующего геометрического гномона (подобного своему предшественнику) не изменяет ее пропорций; она лишь растет в размерах. Точно так же добавление каждого последующего нечетного числа лишь удлиняет последовательность квадратов, не изменяя при этом ее фигурной природы. Таким образом, последовательность квадратных чисел составляют числа 1, 4, 9, 16, ..., а ее гномонную последовательность — числа 3, 5, 7, 9, .... Аналогично, последовательность треугольных чисел составляют числа 1, 3, 6, 10, 15, ...,аее гномонную последовательность — числа 2, 3, 4, 5, ....
Рис. В8. Тетракт в исламском орнаменте, состоящем из звезд и переплетающихся друг с другом трехлучевых элементов.
Фигура, соответствующая числу 10 (четвертому треугольному числу), называлась тетрактом и считалась последователями Пифагора настолько мистической, что они избрали ее в качестве эмблемы своего тайного братства, Ордена пифагорейцев. Широко использовался тетракт и в исламских орнаментах, где на его основе выстраивались замысловатые узоры, содержа-
ГНОМОНЫ И ОБЕЛИСКИ
25
щие шестиконечную звезду и периодические структуры порядка 3 — такие, например, как узор, изображенный на рис. В8.11
Гномоны и обелиски
Некоторые современные историки утверждают, что древние обелиски (включая и те, что были воздвигнуты в Египте) использовались в качестве солнечных часов. Утверждение это, мягко говоря, ничем не обосновано: достаточно отметить, как именно располагались обелиски, — а они, как правило, устанавливались по обе стороны от входов в храмы (ярким примером может служить храм в Луксоре, где, к сожалению, остался только один обелиск, в то время как второй служит украшением площади Согласия в Париже) — и сразу станет ясно, что египтяне строили свои обелиски ни для измерения времени, ни для какой-либо иной цели, а единственно ради восхваления бога Амона. Египтолог Лабиб Хабаши пишет: «На цоколе своего обелиска, что до сих пор стоит в Карнаке, (царица) Хатшепсут приказала сделать надпись о том, что «в честь отца своего Амона воздвигла она... два великих обелиска из цельнотесаных блоков красного гранита, добываемого в южной области; верхние же части этих обелисков сделаны из самого лучшего золота из разных стран»12.
