ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Несколько столетий спустя (приблизительно в 575 г. до н.э.) изобретение солнечных часов припишут греку Анаксимандру, а термином гномон, означающим «нечто, что позволяет узнать» и являющимся буквальным переводом египетского меркхет, будут называть L-образный объект, помещаемый в центр диска этих самых солнечных часов.
Гравюра, помещенная на рис. В4, представляет собой аллегорическую картину под названием «Универсальный метод размещения оси на солнечных часах и расположения на них отметок часов и других обозначений», которая была создана в 1634 году Жераром Дезаргом (1591-1661). Под диском солнечных часов, стоящих на колене греческой фигуры, выгравировано слово Gnomonique. Жерар Дезарг считается основателем проективной геометрии и является автором знаменитой теоремы из этой области.
Геометрическое подобие
Греки были знакомы с понятием геометрического подобия еще со времен Фалеса Милетского, которому Плутарх приписывает вычисление высоты Великой пирамиды в Гизе (см. рис. В5). Фалес измерил длину тени, отбрасываемой на землю вертикально установленным шестом, и вычислил отношение ее длины к длине шеста. В тот же самый момент времени на другой день он измерил длину тени пирамиды и, применив известное свойство подобных треугольников, вычислил высоту пирамиды.
Фалес Милетский, современник Анаксимандра, много путешествовал как по Египту, где он учился у жрецов, так и по Месопотамии. Он совершенно справедливо считается родоначальником греческой геометрии, предтечей всей греческой науки8.
7Египетский календарь насчитывал три времени года, каждое из которых состояло из четырех 30-дневных месяцев. Поскольку в году 365 дней, пяти дней не хватало. Эти недостающие пять дней (так называемые эпагоменалъные дни) добавлялись в начало года перед первым его днем — днем, когда на горизонте вместе с Солнцем всходила звезда Сот (Сириус), т. е., по нашему календарю, 19-го июля. В високосные годы добавлялся еще один день.
8 Обычно полагают, что египетская и месопотамская науки носили, в основном, прикладной характер и представляли собой, по большей части, набор эмпирических правил, в то время
Геометрическое подобие
21
Рис. В5. Фалес Милетский измеряет высоту пирамиды.
Тремя столетиями позже (около 245 года до н. э.) Эратосфен, которого современники прозвали Пентатлом (греч. «чемпион в пяти видах»), а Птолемей назначил начальником Александрийской библиотеки, вычислил с помощью триангуляции длину окружности Земли: он определил величину угла а (см. рис. В6), измерив длину тени от расположенного в Александрии обелиска в точности в тот момент, когда в колодец, находящийся в Сиене (Асуане), солнечные лучи падали отвесно (по тогдашним представлениям, Сиена находилась на одном меридиане с Александрией). Расстояние между
Сиеной и Александрией, таким образом, составило часть длины окружности, отсекаемую углом а, что позволило вычислить полную длину окружно-
как Фалес предпринял попытку с помощью индукции, восходящего процесса, опирающегося на результаты наблюдения, вывести некие абстрактные общие принципы, на основании которых впоследствии — с помощью всеобъемлющего и неумолимого нисходящего процесса дедукции, базирующегося исключительно на логических рассуждениях, — можно было бы построить цельную и непротиворечивую систему следствий, составляющую собственно знание. Однако подобное представление о египетской и месопотамской науке не совсем справедливо. Не так давно было установлено, что Пифагор, более молодой современник Фалеса, привез называемую сейчас его именем знаменитую теорему прямиком из Месопотамии. Как бы то ни было, именно греки, стоящие, если можно так выразиться, на плечах египетских и месопотамских великанов, являются основоположниками того, что впоследствии превратилось в величественную формальную доктрину, которая дошла до нас в виде тринадцати монументальных томов «Начал», написанных Евклидом и его учениками приблизительно в 300 году до н. э. в египетском городе Александрии.
22
Введение: гномоны
Рис. В6. Вычисление длины окружности Земли Эратосфеном.
сти9, причем отклонение полученных результатов от общепринятой сегодня величины 40009 км не превышало 7-16%.
Геометрия и числа
Природа полна аналогий, и в любой отрасли человеческого знания можно найти бесчисленные метафоры для обозначения феноменов, наблюдаемых в какой-либо другой области. Именно так обстоит дело с числами и геометрией, двумя краеугольными камнями греческой науки.
Древние греки, изучавшие свойства как геометрических фигур, так и целых чисел, были одержимы поисками объединяющей эти две области теории, положения которой были бы выразимы в терминах, достаточно абстрактных для того, чтобы их можно было применить и к числам, и к
9Неизменное соотношение размеров объекта и его тени, будь то гигантская пирамида или простая деревянная палка, натолкнуло историка науки Мишеля Серре на следующее предположение: возможно, наблюдая постоянство этого логоса (т. е. отношения), греки начали задумываться о том, что огромный размер и мощь не имеют, в сущности, никаких преимуществ перед малостью и хрупкостью. Тень гномона являет собой вполне осязаемое отражение на поверхности земли — по сути, в прахе земном — небесных событий космического масштаба. Возможно, именно это наблюдение стоит за метафорой Платоновой пещеры, обитатели которой способны видеть лишь тени, отбрасываемые на стены пещеры невидимыми совершенными объектами, и не могут поэтому делать никаких заключений об их неосязаемой природе, кроме чисто умозрительных.
