ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
2Benoit В. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature (New York: W. H. Freeman, 1981). (Pyc. перевод: Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы (Москва: Институт компьютерных исследований, 2002).)
3Heinz-Otto Peitgen, Peter Н. Richter. The Beauty of Fractals (Heidelberg: Springer-Verlag, 1986). (Рус. перевод: Пайтген X.-O., Рихтер П.X. Красота фракталов (М.: Мир, 1993).)
12
Предисловие
Непрерывные дроби и последовательности Фибоначчи находят практическое приложение в так называемых цепях лестничного типа, состоящих из нескольких каскадов «преобразователей». Возможность познакомиться с такими лестничными электрическими схемами читатель получит в главе IV. Как это ни удивительно, но, начав с непрерывных дробей, мы шаг за шагом приходим к уравнению, описывающему распространение волны по линии передачи. Заключает главу раздел, посвященный лестничным структурам, составленным из блоков.
В главе V подробно рассматриваются витые фигуры — предшественники логарифмических спиралей. Представлены моногномонные и дигно-монные фигуры, квадраты и треугольники.
Глава VI посвящена знаменитому золотому сечению, о котором уже столько всего написано. Мой подход к золотому сечению опирается на витые фигуры и принимает в расчет историческую перспективу, что позволяет избежать многих подводных камней, подстерегающих приверженцев широко распространенных мистических взглядов.
На основании последовательности Падована я построил оригинальную фигуру («серебряный пятиугольник»), родственную по своим математическим свойствам золотому прямоугольнику. В конце главы VII мы познакомимся с необычной фигурой, называемой улиткой и впервые описанной С.Голомбом под названием «реп-тайл»4, — эту фигуру Кронекер, скорее всего, не стал бы рассматривать, сочтя ее нефинитной.
Ни одна геометрическая фигура не воплощает концепцию самоподобия лучше, чем чудесная логарифмическая спираль Бернулли. В главе VIII вниманию читателя предлагается поэтапный анализ постепенно усложняющихся матриц поворота, описывающих поведение логарифмической спирали. В конце главы приводится общее решение для затухающих колебаний с характерной спиральной фазовой картиной. Полученные результаты вполне применимы к описанию поведения простого маятника и электрического резистивно-индуктивно-емкостного контура; при этом необходимость в анализе отсутствует, достаточно одних лишь методов конечных разностей.
Книга о самоподобии не может считаться законченной, если в ней не упоминается о фракталах. После того как вышел в свет основополагающий труд Мандельброта, о фракталах и их приложениях едва ли не ко всякой области человеческой деятельности, от так называемых точных наук до менее строгих гуманитарных, исписаны уже целые тома. В мои намерения отнюдь не входит создание очередного учебного курса о фракталах. Напротив, представленный в последней главе подход несколько отличается от общепринятого, так как в его основе лежат теоретико-числовые соображения. Кроме того, там можно найти несколько оригинальных фрактальных фигур моего собственного «изготовления».
4От англ. repeat «повторять» и tile «плитка, черепица, элемент мозаики». — Пргт. перев.
Предисловие
13
Прежде чем я закончу со вступительным словом, я хотел бы выразить особую признательность тем, кто — сам о том не подозревая — оказал на меня наибольшее влияние. Во-первых, Мартину Гарднеру, чьи обширные познания, остроумие и бескорыстная любезность стоят за многими представленными в этой книге идеями. Благодаря Гарднера, никак нельзя обойти молчанием Дональда Кнута. Не знаю, что бы я делал без его «Основных алгоритмов»5. Настоящим откровением стал для меня труд Тобиаса Данцига «Число: язык науки»6. Сам Эйнштейн сказал о ней: «Это, несомненно, самая интересная книга об эволюции математики из всех, что когда-либо попадали в мои руки». Со словом гномон я впервые столкнулся в книге д’Арси Томпсона «Рост и форма»7, в этом выдающемся манифесте учености и смирения, отличающемся, ко всему прочему, великолепным литературным стилем. Пэн Стюарт по-своему продолжает славные гарднеровские традиции, демонстрируя редкостный дар объяснять просто и доступно самые сложные вещи. Джону Хортону Конуэю я обязан многими бессонными ночами, проведенными за сотворением крошечных созданий, наделенных Жизнью. Эта игра весьма пригодилась мне для иллюстрации лекций по клеточным автоматам фон Неймана. Глубокий след оставили иррегулярные мозаики Роджера Пенроуза. Удивительно просветляющее воздействие оказали на меня книги Эли Маора «За пределы бесконечности»8 и «е: история числа»9. Хочется также упомянуть поистине энциклопедический magnum opus10 Жоржа Ифра «Всеобщая история чисел»11 и выразить признательность профессору Каирского университета Фатхи Салеху, который открыл для меня мир древнеегипетской математики. Особо хочу поблагодарить своего доброго друга Арно Пензиаса, личным примером12 вдохновившего меня на написание собственной книги. И еще: я очень благодарен Тревору Липскомбу, моему редактору из «Princeton University Press», за моральную поддержку и бесценные замечания.
