ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
о чем, к сожалению, многие и не подозревают): «Теперь мы можем в точности определить всю последовательность формирования листьев, ведь все действия Природы проходят шаг за шагом перед нашими глазами.»5
Такое изобилие спиралей и самоподобных фигур в природе не осталось незамеченным — с древнейших времен человек использует спиральные мотивы в архитектуре и декоративных искусствах, свидетельством чему могут послужить представленные на цветной иллюстрации 5 репродукции При-сса д’Авенна, на которых изображены древнеегипетские орнаменты с переплетающимися спиралями; показательны также и замысловатые узоры, рожденные гением Морица Эшера (один из них можно видеть на цветной иллюстрации 6).
Открытые не так давно швейцарским математиком Бенуа Мандельбротом фракталы великолепно иллюстрируют концепцию самоподобия (см. рис. В2 и цв. илл. 7). Олицетворением же самоподобия является логарифмическая спираль: если начертить такую спираль и затем фотографически увеличить ее, то полученная фигура окажется абсолютно идентична исходной с точностью до поворота на угол, величина которого зависит от степени увеличения. Это уникальное свойство настолько очаровало Якоба Бернулли (еще одного швейцарского математика, на этот раз из XVII века), что он назвал обнаруженную им фигуру spira mirabilis (лат. «чудесная спираль») и велел выгравировать ее на своей надгробной плите вместе с эпитафией «Eadem mutata resurgo» (что в переводе с латинского означает приблизительно следующее: «Пусть измененный, восстану тем же»).
Темой этой книги является самоподобие (я называю его гномонно-стъю), причем особое внимание уделяется логарифмической спирали и порождающим ее гномонам. Термин гномон употребляется здесь в своем оригинальном значении, определенном еще Героном Александрийским,
5 Johann Wolfgang von Goethe, Versuch die Metamorphose der Pflanzen zu erklaren («Попытка интерпретации метаморфоза растений»). Цит. по: John Е. Dale, «Power Plants», The Sciences (October 1994), p. 28.
ГНОМОНЫ И СОЛНЕЧНЫЕ ЧАСЫ
17
Рис. В2. Правильная фрактальная кривая, огибающая которой представляет собой логарифмическую спираль.
т. е.: «Гномон есть фигура, которая, будучи добавлена к иной фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной».
Открывает книгу исторический обзор, который некоторым читателям может показаться (возможно, справедливо) не совсем здесь уместным. Я, тем не менее, склонен согласиться в этом отношении с французским социологом XIX века Огюстом Контом, который полагал, что «для понимания науки необходимо знать ее историю». В полном соответствии с этим принципом мы поговорим о египетском происхождении понятия «гномон» и убедимся в ошибочности одного широко распространенного заблуждения относительно предназначения древнеегипетских обелисков.
После непрерывных дробей и чисел Фибоначчи мы рассмотрим витые фигуры и их спиральные огибающие, а в завершение читатель познакомится с весьма необычным подходом к фракталам, основанным на арифметизи-рованном варианте кронекерова произведения.
Гномоны и солнечные часы
Согласно древнеегипетским иероглифическим текстам измерение времени занимало центральное место в повседневной жизни египтян эпохи
18
Введение: гномоны
Рис. ВЗ. Египетские солнечные часы.
Древнего и Среднего Царств. Однако самые ранние из найденных археологами солнечных часов датируются всего лишь Восемнадцатой Династией6. Этот инструмент представляет собой всего-навсего L-образную конструкцию, короткое плечо которой располагается вертикально, а длинное — горизонтально, причем длинное плечо определенным образом проградуировано. Для измерения времени часы располагаются так, чтобы тень от вертикального плеча падала на проградуированное горизонтальное плечо. Называлась эта конструкция сетшат или меркхет, что буквально означает «приспособление, дающее знание». Как свидетельствует текст, обнаруженный в кенотафе фараона Сети I (1294-1279 гг. до н.э.), первый и последний час дня этими часами не измерялись, так как отбрасываемая вертикальным плечом тень оказывалась слишком длинной. Эта проблема была решена позднее
6Эпоха Древнего Царства соответствует 2700-2200 гг. до н. э. Среднее Царство существовало с 2013 по 1710 годы до н. э. Упомянутые часы относятся к царствованию фараона Тутмоса III (1479-1425 гг. до н.э.).
ГНОМОНЫ И СОЛНЕЧНЫЕ ЧАСЫ
19
Рис. В4. Аллегория Жерара Дезарга «Гиомоиика». Национальная библиотека, Париж.
20
Введение: гномоны
путем замены горизонтального плеча наклонным, образующим с вертикалью острый угол (рис. ВЗ). На горизонтальную поверхность были нанесены шесть градуированных шкал по числу месяцев между солнцестояниями7.
Солнечные часы более привычного для нас вида впервые появились уже во времена Девятнадцатой Династии; они состояли из плоского диска с выгравированными на нем двенадцатью лучами и перпендикулярной к плоскости диска спицей в центре. В отличие от предыдущих L-образных солнечных часов, новые часы следовало располагать строго определенным образом.
