Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Найти соответствующее ортонормальное разложение для входа и представить канал в виде дискретного по времени канала. Найти пропускную способность канала в натах в секунду (при указанном выше ограничении) и найти предел пропускной способности при т -> 0.
X(t)
К задаче 8.7
(б) Ввести теперь дополнительное ограничение, состоящее в том, что вход может принимать только значения ±"]/S, и найти пропускную способность при т 0.
(в) Теперь предположите, что при ограничении на вход, указанном в пункте (б), приемник может только вычислять интеграл от выхода в течение каждого интервала т секунд и запоминать только знак интеграла. Другими словами, канал сводится к ДСК при передаче одного символа канала каждые т секунд. Найти пропускную способность (в нат/с) при т 0. (Заметим, что все эти каналы являются «каналами с большим шумом» в пределе при т ->- 0, и что вся кривая показателя экспоненты в зависимости от скорости определяется пропускной способностью.)
8.8. В канале белый гауссовый шум имеет спектральную плотность NJ2. Передаваемый сигнал ограничен тем, что должен иметь среднюю мощность S и для каждого целого i при t между i и i + 1 секундами должен иметь следующий вид:
м2
2 хт (0 cos [2л • 100т/ + фт (?)]; г < t < i 1. т = М\
Функции xm(i) и фт(г) произвольны, за исключением ограничения на мощность, и они не должны изменяться в пределах интервала продолжительностью в одну секунду.
(а) Найти пропускную способность канала (в нат/с) для произвольных целых Ма > > 0.
(б). Установить взаимосвязь между ответом в пункте (а) и пропускной способностью канала с белым гауссовым шумом и с ограничением на мощность и полосу частот на входе.
(в) Найти предел в ответе к пункту (а) при М2 -¦ » и Мг фиксированном.
(г) Какой смысл пропускной способности, найденной в пункте (а)? Объяснить, что понимается под блоковым кодом для этого канала при этом множестве ограничений.
566
8.9. Рассмотрим систему связи, в которой передаваемая функция x(t) образована смещениями во времени изображенной на рисунке базисной функции
х (0 — хп а (t—пТ), 7' = 2мкс, (1)
п
где хп — произвольные случайные величины, средняя передаваемая мощность которых ограничена сверху значением S. Принятая функция равна x(t), сложенной с аддитивным белым гауссовым шумом, имеющим спектральную плотность NJ2.
(а) Найти пропускную способность канала в натуральных единицах в секунду при ограничении на мощность и условии (1).
(б) Найти то же, что и в пункте (а), если время повторения Т в (1) равно
1 мкс; следовательно, допуская перекрытие базисных функций.
8.10. Непрерывный по времени канал имеет аддитивный белый гауссов шум со спектральной плотностью NJ2. Вход представляет собой последовательность синусоидальных импульсов длительности Т, имеющих вид
,— / 2nk \
Y2S sin ( 1 + ф 1 ; 0 < t < Т,
где ф может принимать значения 45°, 135°,—135°, —45°. Принятый на интервале Т сигнал декодируется по максимуму правдоподобия в один из четырех сигналов.
(а) Найти соответствующее ортонормальное разложение для этих четырех функций и представить указанные четыре функции коэффициентами в этих разложениях.
i-.л (б) Представить принятые функции с помощью того же самого разложения и на графике, используя эти коэффициенты как оси, показать, какие принятые сигналы должны быть декодированы в каждый из переданных сигналов.
(в) Показать, что операция декодирования может быть разбита на пару решений и что это разбиение соответствует преобразованию дискретного канала с 4 входами и 4 выходами в пару параллельных независимых двоичных симметричных каналов; найти переходные вероятности для этих двоичных симметричных каналов.
(г) Найти выражение для пропускной способности в битах в секунду этого соединения каналов и найти предел при Т -*¦ 0.
8.11. Пусть L статистически независимых каналов с белым гауссовым шумом соединяют передатчик, расположенный в точке А, с приемником, расположенным в точке В. Спектральная плотность мощности шума l-то канала равна N0(l)l2. Передатчик ограничен по мощности значением SL. Найти пропускную способность этой совокупности каналов при каждом из следующих условий.
(а) Кодер может послать произвольные сигналы по каждому из L каналов и может произвольно распределить мощность между каналами. Приемник принимает каждый из L сигналов раздельно и может обрабатывать их любым образом.
(б) Передатчик должен посылать один и тот же сигнал по каждому каналу, т. е. s1(<) = s2(t) = ••• = sL(t) и s((0 имеет мощность S при 1 < { < L. Приемник принимает все сигналы раздельно и может обрабатывать их любым образом.
(в) Передатчик посылает один и тот же сигнал по каждому каналу и зашумленные сигналы складываются вместе перед приемом.
