Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Показать, что среднее значение \Vn ограничено сверху правой частью неравенства (6.9.23)*>.
Указание: сначала покажите, чго передаваемые символы, соответствующие двум последовательностям источника, отличающимися в (п + 1)-м подблоке, статистически независимы в промежутке от (п + 1)-го до (п -f L)-ro подблоков. Затем следуйте процедуре, рассмотренной при выводе границы (6.9.23).
(б) Показать, что вероятность ошибки в п-м узле при В < .E^l.Q) удовлетворяет неравенству
Ре. п < (I + l)eA/2 (-vL [?о(1> °)+Д
—R
Сравнить этот результат с результатом (6.9.40).
6.43. (а) Показать, что yt и yi, определяемые в (6Б.2) и (6Б.4), статистически независимы, если матрица переходных вероятностей такова, что каждая строка является перестановкой любой другой строки и каждый столбец является перестановкой любого другого столбца и если входные символы равновероятны (этот класс каналов является подклассом симметричных каналов, рассмотренных в § 4.5, и включает в себя ДСК).
(б) Показать, что для этого класса каналов результат леммы 6.9.3 может быть усилен следующим образом:
, Г (?— 2) Е0 (1,0) + ?1
Рг [Г/ > Гт1п + (/-2) Д1 < ехр у- K—^-L А -V/ -¦— ^ - J •
Указание-, воспользоваться вашим результатом из пункта (а) для доказательства того, что Г; и Гт;п статистически независимы. Затем соответствующим образом измененные рассуждения, использованные при выводе соотношений (6Б.14) — (6Б.22), примените не к min Г„, г, а к Гт;„.
(в) Воспользуйтесь полученным выше результатом для получения более точной границы для Wn, аналогичной (6.9.30), и границы для Ре п, аналогичной (6.9.40) — (6.9.42).
6.44. Снова рассмотрите двоичный симметричный канал с Q(0) = Q(l) = = 1/2 так, что Г/ и Гт;п статистически независимы. Пусть W0(u) — среднее число проверок «вперед», выполненных декодером, при условии, что Гт;п = и. Предположим, что смещение В равно скорости R и что R > ?0(1, Q). Показать, что
------ ( —и
W0 (и) < Л ехр —-------
\ 1 +Рг
где рг — решение уравнения рrR = ?о(Рг) и где А ¦— не более чем линейно убывающая функция и.
Указание: покажите, что
Рг [Г? > M + (i—2) Д] < ехр | — -j-j~ [« + (•—2) A+fi/v + ?0(P) Ы
*> При оценке числа операций автор предполагает, что ошибка декодирования отсутствует. (Прим. ред.)
561
при р > 0. При Суммиройани по I выберите р = рг При малых значениях / и малое значение р при больших I.
П
6.45. Рассмотрим случайное блуждание Sn = 2zb гДе случайные вели-
_ /=1 чины Z/ одинаково распределены и гг- < 0.
Пусть и < 0 фиксировано и пусть N (случайная величина) равна минимальному значению п, для которых Sn < ии пусть SN равно значению Sn при этом п. Взяв^производную от тождества Вальда (6Б. 29) по т при т = 0, показать, что N “= SN/z. Пусть 2min равно минимальному значению, принимаемому случайной
величиной гг; показать, что и zmin < Nz < и.
6.46. Рассмотрим двоичный код с произвольно большой длиной блока и двумя кодовыми словами. Показать, что исправление всех пакетов длины g при защитном интервале g является невозможным.
Указание: рассмотрите два типа шумовых последовательностей, приведенных на рис. 6.10.2, и покажите, что Zj и z2 можно выбрать таким образом, что Xi 0 Zl = х2 ф za.
Глава 7.
7.1. Вход канала х образован числами +1 и —1, используемыми с вероятностями Рх(+1) = Рх(— 1) = 1/2. Выход у представляет собой сумму х и независимой шумовой случайной величины z с плотностью вероятности р2(г) = = V* при —2 <2 < 2 и pz(z) = 0 при других значениях г. Другими словами, условная плотность вероятности у при заданном л: определяется равенствами Ру\х(У\х) = х/« ПРИ —^ < у — х < 2 и ру\Х(у\х) = 0 при других значениях X, у.
(а) Найти плотность вероятности на выходе канала и изобразить ее на графике.
(б) Найти ЦХ; Y).
(в) Предположим, что выход преобразуется в новую дискретную случайную величину z, определяемую равенствами г = 1 при у > 1; z = 0 при — 1 < у <
< 1; z = — 1 при у < — 1. Найти I(X; Z) и дать наглядное толкование результата.
(г) Пусть X, Y — дискретные ансамбли и Z — новый ансамбль с элементами, определенными по элементам F-ансамбля, z — z(y). Показать, что если P[x\z(y)\ = Р(х\у), то /(X; Z) = 1{Х; Y).
7.2. Вход дискретного по времени канала без памяти образован числами + 1 и —1, а выход, принимающий действительные значения, определяется переходной плотностью вероятности
—ггехР (—<//«); i/>0. а + о p(i/ii)= j
