Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Указание: выходным алфавитом для этого канала является множество /(-мерных векторов, отсюда
f/C-i )1 +
?о(Р> Q) = — In j...N 2 f//c—1 I x = k)vx + p\ dy0..-dyK_x,
При p = 1 квадрат можно раскрыть и проинтегрировать в замкнутой форме. См. Возенкрафт и Кеннеди (1966).
8.17. Можно освободиться от коэффициентов в границах Ре,ш (8.2.43) и (8.2.44) для ортогональных кодовых слов, заменяя (8.2.35) выражением
Q (Ут) < НМ- 1) Ф ( — ут)]р < (М- 1)Р ехр
Ут Р
» Ут>0>
справедливым для любого р, 0 < р < 1. Подставить это выражение в (8.2.32), проинтегрировать и, оптимизируя по р, вывести экспоненциальную границу (8.2.43) и (8.2.44).
569
Замечание: граница не будет иметь коэффициентов, которые присутствуют в (8.2.43) и (8.2.44).
8.18. Пусть задано множество ортогональных кодовых слов
.__ / 2nmt \
хт (О =>^2S cos I j, 0 < ? < T; 1 < m < M ,
и предположим, что при посылке сообщения m принятая функция имеет вид
"2 nmt
у (t) = V2S cos
+ 0
+z(0; о < t <т,
где 0 — случайная фаза, равномерно распределенная между 0 и 2я, и z(/) — белый гауссов шум со спектральной плотностью NJ2. Пусть
т
Ут, i= I У (О
о
т
2 /' 2лт/ \
----cos--------dt,
Т 1 - 1
Г
г/т,2= I г/ (О о
/
Г
• sin
и будем считать, что декодирование заключается в выборе т, которое максимизирует
гт = Ут, 1 + г/m , 2 •
(а) Показать, что вероятность ошибки, при условии, что передано сообщение т, задается выражением
Ре, т=jj Р (Ут, 1. Ут. г | т) Рг [гт, >гт, какое-либо т' фт | rm> т] dym, х dym, 2 < < (УИ—1)р jjp(i/m, !, i/m, a|m) Pr [rm, > rm\rm, mfdym,\dym, a (1) для любого p, 0 p < 1.
(6) Показать, что для переданного т величина гт, имеет плотность вероятности TVg 1 ехр [—rm, j NQ] и, следовательно, Рт[гт,>гт\гт, m]=exp [—гт/ЛГ0]. Подставляя это выражение в (1), показать, что правая часть (1) равна
(М— 1)р 1+Р
ехр
р ST
Л/'о (1+р)
(2)
Указание: сначала выполните интегрирование при условии 0 = 0 и затем покажите, что этот результат сохраняется для любых значений 0.
(в) Показать, что для М = 2, р = 1 выражение (2) дает точное значение Ре,т• Для произвольного М величину(/И — 1 )р/(1 + р) следует оценить сверху Мр и показать, что
ехр
[ - Т (Ус - /Я)2]; < R < с,
\ ехр
; Ж1/*с,
где С = S/Nо [см. Зеттерберг (1968)].
8.19. Проверить справедливость (8.5.89). Следует начать с непрерывности Е^В, р) и показать, что для любого е > 0 существуют 61 и 62, такие, что
р —<5i)>Е00(В, р)—8,
«„(я+а*. p-е,) <sae(B, р),
Roc(B + ez) >RXW)-
Затем показать, что для достаточно больших Т соотношение (8.5.85), используемое при аргументах В + 62, р — 6Ь приводит к (8.5.89).
8.20. Показать, что при постоянном R значение Е, рассматриваемое как функция S (см. рис. 8.5.9), имеет всюду непрерывные производные.
8.21. Вход канала на интервале (—772, 772) равен одной из двух функций x^t) = A cos (2л/j/) или x2(t) = A cos (2л/2/). Выход канала на интервале (—772, Т/2), когда посылается i-я функция (/ = 1, 2), равен
У (0 =01, i cos 2я fit + v2, i sin 2nfi t^z (t),
где z(t) — белый гауссов шум со спектральной плотностью NJ2 и ,* и и2 ^ — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и с дисперсиями W/Г; заметим, что $— общая средняя энергия сигнала, принятого на интервале.
(а) Пусть
Г/2
У1,
У it)
Ут
cos (2л/г t) dt,
-Т/2 Tl? 2 ( У (t) sin (2л/г t) dt.
-Т/2 У T
Показать, что если сообщение i — послано, то ylt i и г/2, г — независимые гауссовские случайные величины, каждая из которых имеет дисперсию N0 + $, и что yltj и y2,j (/ Ф i) — независимые гауссовские случайные величины с дисперсиями N0. (Примите, что Д Т и /2 Т — целые числа.)
(б) Пусть у = ((/i, 1, у2, 1, у 1,2, г/2, г). Найти
г(у)=1п
Р (У I *i №)
Р (У I *2 (0)
