Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
xi=iVWv V%,-, УЩ и *2=(-У^, -VWl,.-., —VTN).
(а) Найти точно выражение для вероятности ошибки при использовании декодирования по максимуму правдоподобия. Ответ будет «хвостом» соответствующего гауссовского распределения.
(б) При ограничении
N
2 < ч,
л= I
найти значения Чп, 1 < п ^ N, которые минимизируют вероятность ошибки.
(в) Сравните ответ с показателем экспоненты при нулевой скорости в границе случайного кодирования для процедуры с выбрасыванием.
Глава 8.
8.1. (а) Пусть z(t) — гауссовский случайный процесс с нулевым средним и пусть дисперсия случайной величины §x(t) z(t)dt конечна для всех x(t) из Ь2. Показать, что это означает существование некоторого числа М такого, что дисперсия jx(t)z(t)dt меньше или равна М для всех нормированных функций x(t).
Предполагается, что для любой последовательности {xi(t)}, для которой существуют 1. i. m. xt(t) и I.i.m. fXi(t)z(t)dt, удовлетворяется условие
1. i. m. jxi(t) z (t) dt = j[l. i. m. Xi(t)] z(t)dt.
Указание: см. § 117 работы Рисса и Надь (1955).
(б) Используйте полученный выше результат в случае, когда z(t) определена как и выше; {ф*(0} — полное множество ортопормальных функций;
*(0= 2 Xi fi W
564
—функция из La и Zj = f фi(t)z(t)dt, чтобы показать, что
lim
k -*оо
k
§x(t)z(t) dt — 2 XiZi
i = l
2
= 0.
8.2. По определению, гауссовский случайный процесс z(t) стационарный, если для всех функций x(t) из L2 и для всех т дисперсия jx(t)z(t) dt равна дисперсии §x(t + т)z(t)dt. По определению, спектральная плотность стационарного гауссовского случайного процесса, если она существует, задается выражением
S (/) = lim
ife-^oo
к/i _______
j V2flk(cos2nft)z{t)dt
о
Показать, что S(f) меньше или равна М, определенному в задаче 8.1.
8.3. Пусть z(t) — случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией ffi(t, т). Показать, что ?R,(t, т) непрерывна тогда и только тогда, когда
lim[z(/)—z (/-ф-е)]2 =0 для всех t.
е-*0
Указание: для того чтобы установить это, примените неравенство Шварца к ?R,{t, т) — ?R,(t + е, т).
8.4. Пусть x(t) и X(f) — пара преобразований Фурье,
Х(/) = j x(t)e-i2ltf‘ dt, x(t) = jX(f) e?2,tf'd/.
OO
Показать, что если X(f) абсолютно интегрируема (т. е. J"|X(/)|d/ < оо), то x(t)
—00
непрерывна.
Указание-, замечая что
х (t)—x (t—z) —^X (/) [е/2я^] [1 — е /гя^е] ^
оцените интеграл отдельно для больших f и для малых / и покажите, что его значение стремится к 0 при е, стремящемся к 0.
8.5. Пусть г(t) ¦— определенный в § 8.1 гауссовский случайный процесс
с нулевым средним; пусть h(t) — функция из La и пусть y(t) случайный процесс, определяемый равенством y(t) — §h(t — r)z(x) dr. Показать, что корреляционная функция (t, т) процесса y(t) непрерывна.
Указание: пусть М — верхняя граница для дисперсии §x(t)z(t)dt при любых нормированных x(t) (см. задачу 8.1.), покажите, что
[У (0-</(^e)]2<iWj[A (t)-fi (* + е)]2 dt.
Далее, определяя w(e) = lh(t)h(t + e)dt и используя задачу 8.4, покажите, что ш(е) непрерывна. На основе этого покажите, что
пт
е-'-оо
J[h (t)—h (t—e)]2 dt = 0.
Наконец, используйте задачу 8.3.
8.6. Пусть z(t) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией М(х). Пусть y(t) — другой случайный процесс, статистически независимый от z(t), для которого при каждом t случайная величина y(t) равномерно распределена между —1 и +1. Пусть y(t) для каждого t статистически не зависит от y(t) при всех других значениях t. Показать, что в соответствии с определением, данным в § 8.1, z(t) + y(t) является гауссовским случайным процессом, однако для каждого t, z(t) + y(t) — негауссовская случай-
565
ная величина. (Заметим, что с физической точки зрения случайный процесс y(t) никогда не может наблюдаться, так как любое измерительное устройство должно производить некоторое усреднение. Однако с математической точки зрения эта задача указывает на характер патологических эффектов, которые возникают при рассмотрении случайных процессов, не имеющих непрерывную корреляционную функцию.)
8.7. Канал с белым аддитивным гауссовым шумом имеет ограничение на мощность входа S и спектральную плотность шума NJ2. Предположим, что при некотором заданном т вход канала является постоянным внутри каждого интервала времени длины т и изменяется только в моменты времени, отделенные интервалом т.
