Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Указание: в пункте (б) представьте вход и каждый выход в виде ортонормаль-ных разложений и покажите, что при рассмотрении соответствующей линейной комбинации выходов не происходит потери информации.
8.12. Предположим, что одно из двух равновероятных сообщений длительности Т должно быть послано по каждому из трех каналов предыдущей задачи. Произвести оптимальный выбор этих двух сигналов в каждом из случаев (при ограничении на мощность) и найти выражение для получающейся вероятности ошибки.
8.13. На рисунке изображена модель простого диспергирующего во времени канала связи. Шум z(t) аддитивный, белый и гауссов со спектральной плотностью NJ2. Усиления известны и являются положительными постоянными.
567
(а) Пусть задано множество кодовых слов x^t).....xM(t). Найти и изобра-
зить блок-схему декодера по максимуму правдоподобия. Предполагается, что значения аи ..., а4 известны.
(б) Пусть средняя мощность переданного сигнала ограничена значением S и пусть полоса частот неограничена. Найти пропускную способность канала в натах в секунду.
Указание: найдите отношение мощности выходного сигнала к входной мощности для синусоиды с большой длительностью и частотой, кратной 1/т.
(в) Найти и изобразить на графике наибольшее достижимое E(R), такое, что Ре < ехр[— TE(R)} может быть достигнута в пределе при больших Т (здесь R — скорость передачи в натах в секунду).
8.14. Биортогональный код, состоящий из М кодовых слов (М четно), определяется как код, для которого первые М/2 кодовых слов являются ортогональными словами равной энергии, а последние М/2 кодовых слов противоположны по знаку первым М/2, т. е.
(а) Показать, что верхняя граница (8.2.43) и (8.2.44) вероятности ошибки для ортогонального кода при передаче по каналу с белым гауссовым шумом со спектральной плотностью N0/2 применима также к биортогональному коду.
(б) Рассмотрим декодер, который для каждого m, 1 < m < М/2, сравнивает
Утп-- J"y(t) фт№ di с фиксированным порогом А. Когда \ ут \ > А только для одного т, то результатом декодирования является т, если ут > А, и т + М/2, если ут < — А. В других случаях декодер отказывается от декодирования. Пусть Ра — вероятность того, что декодер отказывается от декодирования и пусть Ре — вероятность ошибочного декодирования. Показать, что Ра < + Р2
и Ре < РхР2, где
(в) Найти значение А, которое минимизирует приведенную выше границу Ра, и выразить получающиеся границы Ра и Ре через показатель экспоненты, зависящий от скорости, так же как в (8.2.43) и (8.2.44).
(г) Пусть А — ~1/%— е, где е мало. Вновь выразить Ра и Ре через показатель экспоненты, зависящий от скорости. Изобразите на графике показатели экспонент в зависимости от скорости для пунктов (а), (в), (г).
*m(0=F"<?<Pm(0; 1 < Ш^М/2,
хт (0 — V' фт —М /2 * М/2-]~ I < т < М .
Л
¦оо
оо
568
8.15. (а) Определим расстояние между функциями x(t) и y(t) выражением
j/f {x(t)-y(t)]*dt.
Показать, что расстояние между любой парой кодовых слов симплексного кода совпадает с расстоянием между любой другой парой кодовых слов.
Показать, что это расстояние равно квадратному корню верхней границы среднего квадрата расстояния, заданной (8.2.27). Показать, что отсюда следует, что симплексный код оптимален в смысле максимизации расстояния между двумя ближайшими кодовыми словами при заданном числе кодовых слов и заданном ограничении на энергию.
(б) Пусть хп
т, 1<
т-е. кодовое слово в двоичном коде мак-
симальной длины (см. § 6.6.) Пусть фл(<).фдг(0 — ортонормальные функции.
Показать, что множество функций
N
xm(t)= 2 (2хт.п — >)Фп (0> Km<N+l,
п = 1
образует симплексный код.
8.16. Рассмотрим дискретный по времени канал, состоящий из канала с аддитивным гауссовым белым шумом (спектральной плотности NJ2 = 1) и модулятора цифровых данных. На каждом интервале продолжительности Т0 модулятор передает одну функцию из множества К ортогональных функций, имеющих энергии ST0 и ограниченных во времени заданным интервалом. Рассмотрим выход канала на заданном интервале как выходы К согласованных фильтров, каждый из которых согласован с одной из функций модулятора. Показать, что функция ?о(1. Q) Для этого канала при Q(k) = 1/К, 0 ^ k ^ К — 1, задается выражением
Еа (1. Q):
ST0
1+J_(esr0/4_i)
А
Показать, что для этого дискретного по времени канала при любой скорости R (в натах в секунду) и длины блока N существуют коды с
Г 5 f 4 Г e-sro/4— 1
где Т = NT0.
Показать, что при R < S/8, и при любом фиксированном Т„эта экспонента аппроксимирует экспоненту для ортогональных кодовых слов при больших К' Обсудить качественно, каким должно быть К, чтобы эта аппроксимация была хорошей.