Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Применяя оператор ротора к первому уравнению из этой системы и используя другие уравнения системы, получаем
rot rot Е ----(Е + 4яРл + 4яРнл).
с2 дР
В результате приходим к волновому уравнению для диэлектрика с нелинейной поляризацией:
(1.1.15)
, , „ 1 дР . , n v 4л д2
r„t rot Е + - — <Е + 4яР„)
(1.1.16)
С учетом (1.1.11) перепишем (1.1.16) в виде
или, иначе, (rot rot +
JL F
k dP k
4л d2 c2 dP
P»ni- (1.1.17)
В случае изотропной среды уравнение (1.1.17) можно представить в виде
Р с№
rot rot Е +— ¦— Е =
с2 др
4л д2
(1.1.18)
12
Гл. 1. Нелинейная поляризация диэлектрика
1.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
Временная дисперсия линейной восприимчивости. Процесс установления поляризации среды требует некоторого времени. Следовательно, отклик среды на внешнее воздействие должен отставать во времени от воздействия. Точнее говоря, поляризация среды в данный момент должна определяться значениями напряженности поля в предшествующие моменты времени. Это означает, что вместо (1.1.1) следует рассматривать соотношение
00
^(0 = 2 f ^lk(r)Eh(t-x)dx. (1.2.1)
ft о
Иными словами, надо учитывать временную дисперсию диэлектрической восприимчивости*>.
Учет временной дисперсии приводит к зависимости тензора восприимчивости от частоты ю световой волны. Если использовать в материальном уравнении фурье-компоненты векторов Р и Е, т. е. векторы Р (со) = j Р (t) exp (— tot) dt
и E (ю) = J E exp (— mi) dt, то можно по-прежнему ра-
ботать с уравнением вида (1.1.1), применяя в нем зависящие от частоты компоненты aih (со) тензора восприимчивости (будем называть их спектральными составляющими тензора):
Pt И ^ 2 «ift И Еи И, (1-2.2)
к
где
00
aik (ю) = J OLtk (т)ехр ( — tear) dr. (1.2.3)
о
Этот результат получается, если выполнить фурье-преобра-зование над правой и левой частями соотношения (1.2.1).
Дисперсия нелинейных восприимчивостей. Выражение (1.1.12) для квадратичной поляризации заменяется с учетом
*) Дисперсия диэлектрической восприимчивости обсуждалась, например, в § 4. 2 из [1]. Подробный анализ распространения электромагнитных волн в диспергирующих средах дан в [8, 9].
1.2. Нелинейные восприимчивости
13
дисперсии следующим выражением:
00
^кв i (0 = 2 2 f j (Т'. Л ^ (*-t') X
• ft / О
X ?>(*—Т'—x^dx'dx'. (1.2.4)
Используя (как и в случае линейной поляризации) фурье-компоненты векторов поляризации среды и напряженности поля, можно получить соотношения
PMi (ffli + ffla)=s22xiw(®i + fi4)?h(®i)^(®*); (1.2.5а)
k j
Рнв i К—®2) = 22 %ihj К—щ) Ек («>1> Е* (ю4), (1.2.56)
ft /
где
%Ш (®1 ± ®)2 =
Xikj(x',x”) exp [ — i (щ ± ®а)т' тгт"\(1т'dx”.
(1.2.6)
Каждая спектральная составляющая тензора % зависит от двух частотных аргументов (coj и со2), образующих некоторую комбинацию (сумму % + ю2 или разность % — со2); эта комбинация определяет частоту волны квадратичной поляризации. Заметим, что запись типа %ikj (щ ± ю2) является сокращенной; в принципе, следовало бы писать так:
Xikj (®i ± ®i> ^г)-
Спектральные составляющие тензора 8 зависят от трех частотных аргументов, комбинация которых определяет частоту волны кубичной поляризации. В качестве примера приведем соотношение
Ркуб ? (®t + + ®з) =
= 222 бшт К + + ©з) Ek (СО!) Ej (со2) Ет (со3). (1.2.7)
k i т
Соотношения (1.2.5) и (1.2.7) отражают принципиальное обстоятельство: нелинейная поляризация среды связана с явлениями взаимодействия световых волн. Волна квадратичной поляризации есть результат взаимодействия двух световых волн; такие взаимодействия называют трехчастотными.
14
Гл. I. Нелинейная поляризация диэлектрика
Волна кубичной поляризации — результат взаимодействия трех световых волн (четырехчастотные взаимодействия). Используя взаимодействия световых волн в нелинейной среде, можно осуществлять преобразование частоты.
Общие свойства симметрии тензора квадратичной восприимчивости [8]. Тензор х всегда симметричен относительно перестановки двух последних индексов:
Xikj — %ijk-
(1-2.8)
Согласно (1.2.8) число независимых компонентов тензора % не должно превышать 18. В действительности же для многих структур это число значительно меньше; оно определяется симметрией кристалла. Так, например, в случае кристаллов группы дигидрофосфата калия тензор % имеет лишь два независимых компонента:
~ %213= %23li ЗС312 = %321- (1.2.9)
Соотношение (1.2.8) позволяет при рассмотрении тензора X перейти от системы трех индексов (от индексов i, /, k, каждый из которых принимает 3 значения) к системе двух индексов (к индексам
i, /, где ( = 1, 2, 3; / = 1, 2.6). Выражение (1.1.12) принимает
теперь следующий вид:
6
Pi=^dnFi (1= 1,2,3), (1.2.10)
1
или в развернутой записи
^12 ^13 ^14 ^15 21 ^22 ^23 ^24 ^25 ^26 '31 ^32 ^33 ^34 ^35 <4б
Здесь йц — Хш; ^г*2 %г22» ^гЗ ~ Хгзз» da ~ Xi23 ~ Xi32> ^ih ~
~ Хг 13 = lm> die = %il2 = Хг21* Вектор F шестимерен; выражается через ЕхЕг, F2 — через Е2Е2, Е3 — через Е3Е3, Fb — через (Е2Ез + Е3Е2), Fs — через (ЕгЕ3 + Е3Е^), Fb — через (ЕгЕ2 + + Е2Е{).
Используя (1.2.9), можно представить матрицу dti для кристаллов группы дигидрофосфата калия в виде
