Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
положение максимумов полос излучения сдвигается при изменении
возбуждающей частоты. Частоты излучений смещены на кратное число частот
оптических колебаний. Имеется корреляция между начальными и конечными
фотонами.
ГОРЯЧАЯ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ
609
С другой стороны, излучение затухает во времени на каждом шаге каскадного
уменьшения энергии экситонов. Линии излучения обладают шириной 3-8 см"1
при температуре 4,2 °К. Повышение температуры кристалла вызывает
существенное расширение линий излучения и уменьшение их интенсивности.
Все это несомненные признаки горячей люминесценции, в которой участвуют
реальные экситонные состояния.
При возбуждении кристаллов сернистого кадмия монохроматическим светом в
области ниже дна экситонной зоны наблюдается только комбинационное
рассеяние света с возбуждением в кристалле одного или двух фононов.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
А. Унитарные преобразования операторов
Пусть F (М) - некоторая функция оператора М. Рассмотрим преобразование
Fx = S+F (Af) S
с помощью унитарного оператора
S = ехр (- i'L), S+S=l, (A.l)
где L -эрмитов оператор, т. е. L = L+.
Если функция F (М) может быть разложена в ряд
СО •
F (М) = 2 апМ\
п =0
то имеет место операторное равенство
S+F(M)S = F(S+MS). (А. 2)
Из равенства (А.2) следует, что для определения вида преобразованной
функции S+F (М) S достаточно найти преобразование S+MS самого оператора
М.
Для вычисления преобразования S+M5 введем вспомогательный оператор
S{x) - ex р(-ixL), (А.З)
где л: -вещественная переменная, изменяющаяся в пределах от 0 до 1. Из
определений (АЛ) и (А.З) следует, что
s (0) = 1, S (1) = 5. (А.4)
Дифференцируя обе части равенства
• Mi (х) = 5+ (х)УИ5 (х)
по х, получим при учете определения (А.1) дифференциальное уравнение
\ ^± = iS+(x)[L,M]S(x).
Б. ОПЕРАТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА 611
Решая полученное уравнение при граничных условиях (А.4),
находим
1
S+MS = М + i jj 5+ (х) [L, M]S(x)dx. (А.5)
о
В частности, если выполняются равенства
[L, М] = Ь, [L, Л] = 0, выражение (А.5) значительно упрощается:
S+MS = M + i [L, М]. (А.6)
Б. Операторные тождества
Если коммутатор двух произвольных операторов F и М коммутирует с каждым
из них, то имеет место очень важное тождество
ехр (aF) ехр (уМ) = ехр {уМ + ау (Т7, M]J ехр (aF), (Б.1)
где а и у - любые операторы, коммутирующие с F и М.
Для доказательства тождества (Б.1) продифференцируем по вещественной
переменной х равенство
Л (х) = ехр (aFx) М ехр (-aFx). (Б.2)
1
Интегрируя полученное уравнение
^~- = аехр(аFx)[F, М]ехр(-aFx)
по х в пределах от 0 до 1 и учитывая равенство (Б.2), находим
ехр (aF) М ехр (-a,F) = М + а[Л М]. (Б.З)
Умножив обе части (Б.З) на у, преобразуем его к виду
ехр (aF) уМ = (уМ + ay (Т7, М])ехр(а?). (Б.4)
Методом индукции далее получаем
ехр (aL) (уМ)п = (уМ + ay (Т7, М])п ехр (aF),
из которого следует искомое тождество (Б.1).
В частном случае, когда операторы F и М совпадают с бозев-скими
операторами рождения bt и уничтожения bs частиц в состоянии s,
удовлетворяющими. перестановочным соотношениям
[bs, = [&*, М = °.
из тождества (Б.1) следует
ехр (ybt,) ехр (abs) при s Ф su
612 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Применим операторное тождество (Б.1) к произведению операторов ехр (af-f
$М) ехр (-aF). После простого преобразования получаем
ехр (aF + Р-М) ехр (- aF) ехр ^ аР [М, -L]j =
= ехр (- aF) ехр (aL + рЛ4) ехр (- рМ) ехр у ар [М, bfj. Из полученного
тождества и (Б.1) следует, что оператор Л (a, Р) ==ехр (- рМ) ехр (af-
fPM) ехр (- aF) ехр аР[УИ, L]^
(Б.6)
коммутирует с операторами F и М и не зависит от значений a и р. При а = р
= 0 непосредственно из определения (Б.6) следует, что оператор Л равен
единице, а из независимости Л от a и Р следует, что равенство
A (os, Р) = 1 (Б.7)
выполняется тождественно. Полученное тождество (Б.7) можно преобразовать
к виду
ехр (af + p.M) ==ехр (РУИ) exp (aF) ехр у [/% (Б.8)
Это тождество было доказано Вейлем в 1928 г. и носит название тождества
Вейля.
В частном случае, когда операторы F и М совпадают с операторами bt и bs,
тождество Вейля имеет вид
ехр (abt + рbs) == ехр (Р&5) ехр (ab$) ехр уоф). (Б.9)
С помощью (Б.1) оно преобразуется к виду
ехр (abt + P^i) = ехр (abt) ехр (f>6s) ехр (Б.10)
В. Вычисление средних значений функций от бозевских операторов в
состояниях
с определенным числом частиц ^
Волновая функция | ns) системы, в которой имеется ns квантов (бозонов) в
состоянии s, выражается через бозевские операторы bt и функцию вакуумного
состояния ] 0) с помощью равенства
1^) = Ы)-1/2№|о>. (В.1)
Функции | ns) являются собственными функциями оператора энергии Н
=^=^]fl^ls(bibsJ[-1/2), поэтому они образуют при ns =з
Г. СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОТ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 613
=0, 1,... полную ортонормированную систему функций. Матричные
- элементы операторов (bt)m$ и b(tm)s на ортонормированной системе
функций (В.1) определяются равенствами
(V* I (btrs \ns)^V ^±^H6s,As,
г-----(B.2)
Используя (B.2), находим средние значения в состоянии произведений
