Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
операторов
(ns I (bs)m* (bt)vs I ns> = (rt5 + m5)! (rt,!)-16vs,
(ns I (btfs ФУ* 1 ns) = ns\ [(rt5 + fflj)!]-1 6v, m.
Разложив экспоненциальные функции в ряды и используя (В.З), находим
равенства
со ^
(ns \ e^eabs \ns) = 2
(m5!)3 ns,
p*4>
("Р) *яд|
(ms^(ns - ms)\ '
m=0
Г. Средние статистические от бозевских (фононных) операторов
Состояние фононов в кристалле, находящемся при температуре Т,
определяется матрицей плотности
р = ехр (- P#)/Sp {ехр (- P#)}, (Г.1)
где
H = ?fs(btbs+ 1/2) (Г. 2)
S
/
- оператор энергии фононов. Индекс s нумерует их состояния; р =в{КГ)-
\ <S = HQS.
При этом среднее статистическое от любого оператора А, составленного из
операторов фононов bt и bs, определяется равенством
(Л) = Sp (рЛ) == 2 (Г.З)
S, Si
В представлении собственных функций | ns) оператора (Г.2) матрица
плотности (Г.1) диагональна и имеет элементы
(ns IРI ns) = (1 - е~ s) ехр (- рns<s)\
614
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
В этом представлении для фиксированного состояния s равенство (Г.З) имеет
вид
СО
(As) = [1 - ехр (- РО] 2 <ns I As I ns) exp (- Pn^)- (r-4)
ns = 0
Применим это равенство к частным случаям.
а) Пусть оператор совпадает с оператором числа фононов в состоянии s,
т. е. As = th = btbs, тогда (ns\ns \ ns) - ns и из (Г.4) следуют
равенства
<ni> = <W>i> = [ep,'-l]-1, (Г.5)
ФМ) =1 + <",> = [1 -е~ '^]Л (Г .6)
2 (ns) + 1 = cth pf5 j.
б) Пусть Л^ = ехр (abs)exp (vbs). В этом случае, подставив значение
(В.4) в (Г.4), находим
<Л^> = ( 1-е- У 'ns)l,rys
4 'Li (ms\y ns\
(Г.7)
Учитывая равенство
СО
^ (п + т)\
п\ т\
е -хп __
т+ I
и равенство (Г.6), можно записать
СО
П Р',1 V K +
-12
л= О
ns\ ms\
= [1 +e--v]-m-1
=[1 + <П5>Г
Подставив это значение в (Г.7), находим окончательное выражение
СО т
(eVt)= 2 i^r1(l + ("s"mi = exp{aY[l + <ns>]} (Г.8)
ms = О
или
<ехр (abs) ехр (уbs)) = ехр {ссу ф&)\. Таким же образом можно доказать
равенство
(ехр (уb?) ехр (abs)) = ехр {ау <&+&*)}.
As = ехр [a*bt - abs] ехр [уbs - у*Ь?]. Используя тождество Вейля (Б.
10), имеем
в) Пусть
(Г.9)
(Г. 10) (Г.П)
As = e
-"4^"*6*>ie-v*^exр {i (| а |2 + ! р I2)}.
Д. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗА. 615
Переставляя с помощью (Б.1) второй и третий сомножители, преобразуем это
выражение к виду
As = exp {(у - a) 6S} exp {(а* - y*) 6sf} exp j~ [| a j2 +1 0 |2 -
2a*y]}. Далее, учитывая, что согласно равенству (Г.8)
(e{y~a)bse<'a*~y*)bs) - ехр {((ns) + 1) [ау* -+ уа* - | a j2 - | у |2]},
находим окончательное выражение <ехр [a*bt - abs] exp [ybs - у*^]) =
=-exp|aY*(<ns) + l) + Ya*<"s)-[<"s)+y (I a I2 +! Y i2)}- (ГЛ2)
Д. Уравнение для фурье-образа по временной переменной от гриновских
функций
В системе, описываемой гамильтонианом Я, запаздывающая гриновская функция
двух операторов а и b определяется выражением
"a; b))t = -iQ(t)Sp(p[a(t), b (0)]), (Д.1)
где 0 (t) - ступенчатая функция; Sp (рF) обозначает статистическое
усреднение оператора F с помощью матрицы плотности (10.1). Операторы а и
b заданы на том же пространстве функций, что и Я,
а (t) = exp (iUtjU) а exp (- iHt/H).
Таким образом, изменение операторов с течением времени характеризуется
уравнением
т% = [а,Н]. (Д-2)
Фурье-образ ((а; Ь))~ по временной переменной от запаздывающей гриновской
функции (Д.1) изображается интегралом
СО
<(a'> b^'dt> " = co + t'Y. (Д.З)
- СО
Подставив (Д.1) в (Д.З) и выполняя интегрирование по частям, при учете
(Д.2) получаем уравнение
Ъа((ау b))~ = Sp (р [a, t]> + "[a, Я]; Ь"5. (Д.4)
Применяя это уравнение к фурье-образу "[а, Я]; Ь))~, находим
новое уравнение
Йш"[а, Я]; b))~ - Sp (р [[а, Я], Ь]) + "[[а, Я], Я]; 6))5.
615 _ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Продолжая этот процесс, получим систему последовательных уравнений для
все более сложных гриновских функций. При приближенном решении такой
системы уравнений (путем обрыва на некотором этапе) можно найти
приближенное значение ((а, Ь))~, не прибегая к вычислению самой
запаздывающей гриновской функции.
Если в выражении (Д.1) усреднение производится по основному состоянию, т.
е. если
"а; Ь))( ^ - ;е (t) <0 1 [а (0, Ъ (0)] I 0), (Д-5)
то уравнение (Д.4) принимает вид
Гш "а; ft"s = <0 |[а, Ь] | 0> + (([а, Я]; &"5. (Д.6)
Е. Уравнение Дайсона
Отыскание собственных значений и собственных функций гамильтониана
H = H0 + V, (Е. 1)
если известны функции и собственные значения Я0, удобно производить с
помощью функций Грина,' заданных в энергетическом представлении.
Гриновская функция G (Ё) оператора (ЕЛ) определяется как решение
уравнения
(E-H)G(E) = 1, Ё = Е + щ, т)-"-+0. (Е.2)
Формальное решение (Е.2) можно записать в виде
G (Ё) - (Ё - Ну1. (Е.З)
Из (Е.З) следует, что собственные значения оператора Н являются полюсами
функции Грина.
Функция Грина (Е.З) удовлетворяет уравнению Дайсона
G (Ё) = G<°> (Ё) + G<°> (Ё) VG (Ё), (Е.4)
где
G<°> (?) = (?-Яо)1. (Е.5)-'
- функция Грина оператора Н0.
Уравнение Дайсона (Е.4) непосредственно следует из операторного тождества
(Е-Ну1^(Ё-Н0)~1 + (Ё-Н0)-1 У(Ё-Н)-1. (Е.6)
В справедливости этого тождества легко убедиться, умножая обе части (Е.6)
