Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Об экспериментальном базисе общей теории относительности 59
существуют: примером являются геодезические линии (кратчайшие пути между парами точек). Один из путей, органически включающий в теорию тяготения результаты экспериментов Этвёша, состоит в таком построении геометрии пространства, чтобы траекториями движущейся материи были геодезические линии в пространственно-временном континууме. Именно на этом пути для описания тяготения привлекается неевклидова риманова геометрия. Конечно, это не единственный вариант, который можно было бы выбрать. Так, можно было бы выбрать семейства кривых, которые, будучи универсальными, тем не менее не могли бы рассматриваться как геодезические линии. Сделанный нами выбор, согласно которому геометрия пространственно-временного континуума такова, что траектории материальных частиц (и фотонов) совпадают с геодезическими линиями, произволен, но удобен. Другие возможности будут рассмотрены позже.
В плоском трехмерном пространстве расстояние между двумя близкими точками в декартовой системе координат имеет вид
ds2 = dx2 + dx2 + dx2. (1)
Аналогично расстояние между двумя близкими точками пространства — времени в присутствии гравитации (искривленное риманово пространство) выражается формулой
ds2 = gij dxl dx\ (2)
где gij — метрический тензор, являющийся функцией координат, вид которой зависит 1) от гравитационного поля и 2) от используемой системы координат. В формуле (2) подразумевается суммирование по повторяющимся индексам і и /. Что касается п. 2, то величины gij при преобразованиях координат преобразуются по определенным правилам (по закону преобразования тензоров), которые рассматриваются в гл. 2 Андерсоном. Здесь мы оставляем в стороне вопрос о возможном выборе допустимых систем координат.
Введя понятие инфинитезимального расстояния между двумя близкими точками, можно определить
60
Г лава I
геодезические линии как линии наименьшей длины. В соответствии с этим уравнение геодезической линии получится из варьирования s:
6s = bfds = 0. (3)
Более подробно о значении геодезических линий говорится в гл. 2. При таком способе введения величины ds в связи с опытом Этвёша мы предполагаем, что пространственно-временные траектории малых объектов, свободно падающих в гравитационном поле, определяются уравнением (3). Тем самым мы идеализируем реальную задачу, поскольку обычно присутствуют и другие силы. Кроме того, для этого должно быть пренебрежимо малым так называемое приливное взаимодействие гравитационного происхождения. Ho приливные эффекты тем меньше, чем меньше размеры падающего тела. [Один случай возможного отклонения от траектории, определяемой уравнением (3), рассмотрен в приложении А.]
Вернемся к вопросу об уравнении движения. Прежде всего определим четырехмерную скорость. По определению четырехмерная скорость Ui есть
I Axi ...
ИГ’ (4)
Из уравнения (4) и соотношения
ds2 — gtJ dx‘ dxj (5)
имеем
g I JUt Ui= I. (6)
Вариационный принцип
6 j" ds = 6 f Vg,JUiU1 ds — 0 (7)
дает (из уравнения Эйлера) следующее уравнение линий минимальной длины:
¦ji SijUi — - j gJktlUjи* = 0, (8)
где запятая означает обычное дифференцирование: gih,i=dg{kJdX}. Первый член представляет собой по су-
Об экспериментальном базисе общей теории относительности 61
ществу обычное ускорение (в плоском пространстве W-> -> скорость, gij=6ij и ds C(It)i и его можно интерпретировать как силу инерции та. Второй член может трактоваться как гравитационная сила. Иными словами, частица движется таким образом, что сила инерции и гравитационная сила всегда уравновешивают друг друга.
При такой интерпретации членов в уравнении (8) возникает интересная особенность, если модифицировать это уравнение, добавив член, описывающий негравитационные силы (например, электромагнитные силы). Так как величина обоих членов уравнения (8) зависит от выбранной системы координат, то всегда можно выбрать такую систему координат, в которой либо гравитационная сила, либо сила инерции обращается в нуль в некоторой точке. В первом случае посторонняя сила уравновешивается гравитационной силой и тело как бы находится в состоянии равновесия. Во втором случае посторонняя сила уравновешивает силу инерции и тело представляется движущимся ускоренно в отсутствие гравитационного поля. Следовательно, не существует абсолютного критерия, который бы позволял устано-вить, имеем мы дело с силой инерции или с гравитационной силой, — это зависит от выбора системы координат.
Тот факт, что сила инерции подобна некоторой гравитационной силе, является одним из важных аспектов принципа Маха, к которому мы вернемся в гл. 7.
Некоторые ученые, в частности Сиама, подчеркивают, что, согласно принципу Маха, можно считать, что силы инерции, действующие на некоторого наблюдателя в лаборатории, вызваны ускорением удаленной на огромные расстояния материи, которая, взаимодействуя с объектом, порождает силы инерции.
Рассмотрим физика, находящегося внутри лаборатории (фиг. 1.3). Представим себе, что при помощи пружины лабораторию приводят в состояние ускоренного движения. На явления, происходящие внутри лаборатории, будут оказывать влияние силы инерции. С точки зрения принципа Маха эти силы инерции имеют гравитационное происхождение и являются лишь частным
