Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
*) Еще в прошлом веке Лобачевский пытался поставить астрономические наблюдения с целью выяснения вопроса: какова
«в действительности» геометрия звезд? Характерны также его утверждения об опытном происхождении геометрии. — Прим. ред.
2) Такое утверждение широко популярно и до очевидности ошибочно. Разумеется, нельзя одним выбором системы отсчета (кинематика!) уничтожить или создать поле (динамика!). Тем более нельзя преобразованием координат — любым — уничтожнть или создать искривленность пространства — времени с тензором кривизны, не равным нулю! — Прим ред,
P и мано в а геометрия
75
Начала геометрии: дифференцируемое многообразие; геометрическая структура
Самая простая геометрия — это геометрия топологического пространства. Такое пространство представляет собой некую совокупность точек с определенной топологией. Топологией определяется понятие точек, близких друг к другу. Иными словами, она позволяет определить окрестность точки многообразия, т. е. совокупность точек, близких к данной. Если можно устанавливать взаимно однозначное соответствие между этими точками и точками евклидова пространства таким образом, что в области наложения двух таких отображений они выражаются друг через друга непрерывным и дифференцируемым образом, то такое топологическое пространство называют дифференцируемым многообразием. В конце концов мы установим соответствие между точками такого многообразия и точками реального пространства — времени.
Обычно считают, что топология пространства — времени совпадает с топологией обыкновенной евклидовой плоскости. При такой топологии, например, любая замкнутая кривая может быть непрерывным образом стянута в точку. Существуют и другие топологии, при которых это невозможно. Например, на поверхности бублика, которой соответствует неевклидова топология, существуют два различных класса кривых, не стягиваемых в точку.
По-видимому, даже вопрос о евклидовом характере топологии пространства — времени пока что остается открытым и должен быть решен экспериментально. Недавно Уилер и Мизнер построили модели электрического заряда, используя неевклидовы многообразия, содержащие так называемые «ручки» (worm holes).
В последующем изложении значительная часть выводов не зависит от типа топологии, которой обладает многообразие. В тех случаях, когда топология существенна, она будет предполагаться евклидовой, если нет оговорки.
Поскольку топологическое многообразие не представляет большого интереса для физики, чтобы конкрети-
76
Глава 2
зировать его, необходимо приписать ему определенную геометрическую структуру. Тогда можно попытаться установить соответствие между геометрической структурой и теми физическими величинами, которые мы хотим описать. Как мы увидим, существуют геометрические величины, называемые векторами и тензорами, которые могут быть сопоставлены реальным физическим объектам. Так, например, с электромагнитным полем обычно связывают некоторый антисимметричный тензор. Однако необходимо всегда помнить, что эти геометрические величины всего лишь наложены на арифметическое многообразие, лишенное каких бы то ни было свойств, кроме определенной связанной с ним топологии.
Координаты как удобный способ описания
Теперь несколько слов о координатах в геометрии. Геометрия, с которой мы привыкли иметь дело, представляет собой так называемую внутреннюю геометрию. Свойства такой геометрии не зависят от выбора той или иной системы координат. Независимость геометрии от выбора системы координат является одной из главных особенностей общей теории относительности. Так, например, внутренняя геометрия плоскости не зависит от того, каким образом на ней проведены координатные линии. Совершенно несущественно, являются ли они кривыми (как, например, в случае полярных координат) или прямыми (в случае декартовых координат).
Таким образом, на многообразии можно построить некоторую внутреннюю геометрию и образовать внутренние величины, а именно векторы и тензоры, вообще не пользуясь понятием координат. Однако на практике это оказывается неудобным, ,и поэтому мы вводим координаты и с помощью аналитической геометрии сопоставляем точкаммногообразия некоторые числа.
Пользуясь понятием'системы координат, мы всегда должны помнить, что координатная система это просто вспомогательное средство, помогающее производить вычисления. Результаты вычислений не должны зави-
P и м а но в а геометрия
77
сеть от выбора системы координат. Мы не отдаем предпочтения какой-либо одной системе координат по сравнении» с другими. Это положение иногда называют принципом общей ковариантности. Ho физический смысл этого принципа значительно глубже изложенных выше простых утверждений.
Чтобы ввести координаты в нашем пространственно-временном многообразии, сопоставим точки этого многообразия точкам евклидова пространства, а именно с каждой точкой P многообразия свяжем совокупность четырех чисел {л;**}, где ц=1, 2, 3 или 4. Это можно сделать многими способами. Можно рассмотреть другое сопоставление, с иной совокупностью чисел Так
