Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
как обе совокупности {лг*1} и {л>} описывают одну и ту же точку, то между {л;*1} и {л>} должны существовать функциональные соотношения. Запишем
о)
Р'^{х'*). (2)
Следовательно,
^1W* ({*4). (3)
Поскольку многообразие предполагается дифференцируемым, функции х'» должны быть непрерывными и дифференцируемыми функциями хУ. Предполагается также, что существуют соотношения, обратные соотношениям (3). Ho если многообразие не обладает евклидовой топологией, то его нельзя покрыть единой системой координат, удовлетворяющей этим условиям. Если, например, попытаться покрыть координатной сеткой поверхность сферы, то возникнут затруднения на полюсах или в особых точках координатной системы. Таким образом, это многообразие можно «координатизировать» (параметризовать) лишь кусочно, покрывая одну область одной системой координат и другую — другой. Там, где эти области перекрываются, обе системы координат, используемые для их координатизации, должны удовлетворять соотношениям (3) во всех точках, лежащих на пересечении этих двух областей.
78
Глава 2
Ковариантные и контравариантные тензоры
Приступим теперь к определению векторов и тензоров, руководствуясь тем трансформационным законом, по которому они преобразуются при преобразованиях координат (3). Сначала определим контравариантные величины. Простейшей контравариантной величиной является скаляр. Скаляр обладает тем свойством, что его численное значение не изменяется при преобразовании координат. Скалярами будут лишь те величины, для которых справедлив этот особый инвариантный закон преобразования. Примером числа, определенного в некоторой точке и не преобразующегося как скаляр, является кинетическая энергия частицы, находящейся в некоторой точке. При преобразовании, включающем трансляции координат, зависящие от времени, кинетическая энергия изменяется. Следовательно, хотя кинетическая энергия есть некоторое число, она не будет скаляром.
Выразим то же самое на языке математики. Пусть ф(л:) —некоторый скаляр. При преобразовании координат {а:} —> {^7} мы имеем у(х) -+у'(х'). Ho, несмотря на то что функциональная зависимость ф от х иная, чем ф' от х\ справедливо равенство
фМ = ф'(*')> (4)
если {*} и {*'} относятся к одной и той же точке.
Теперь определим контравариантный вектор. Кон-травариантный вектор представляет собой1) совокупность четырех чисел (мы всегда будем иметь дело с четырехмерным пространством), обладающую в точкеP определенными трансформационными свойствами. Закон преобразования контравариантного вектора имеет вид
Это линейное преобразование, так как величины Af и А связаны линейной зависимостью. (Здесь и в дальней-
1J В данной точке Р. — Прим. ред.
P имано в а геометрия
79
шем подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.) Как и прежде, {л;} и {х'} относятся к одной и той же точке Р. Таким образом, чтобы преобразовать контравариантный вектор, необходимо прежде всего преобразовать его компоненты согласно формуле (5) и затем подставить преобразованные координаты. Например, чтобы получить потенциалы Лиенара — Вихер-та для поля равномерно движущейся частицы, следует осуществить преобразование Лоренца к системе отсчета, в которой частица находится в состоянии движения, вычислить трансформированные в соответствии с преобразованием Лоренца компоненты поля и подставить преобразованные координаты.
Примером контравариантного вектора может служить отрезок, соединяющий две близкие друг к другу точки. В одной координатной системе этот отрезок есть dxv, а в другой (штрихованной) координатной системе он будет равен
Подобным же образом, задавая законы преобразования, можно определить ковариантные величины. Ковариант-ный скаляр преобразуется так же, как и контравариантный скаляр.
Ковариантный вектор В (для обозначения контра-вариантных векторов используются верхние индексы, а для ковариантных векторов — нижние) преобразуется по закону
Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции
дер _ дхdtp /Qv
Эти величины определены независимо от метрики. Таким путем мы ввели в наше многообразие геометрическую структуру. Можно обобщить векторные законы преобразования таким образом, что они будут определять
(6)
(7)
V
dx'v дх»
(8)
80
Глава 2
полный класс величин, удовлетворяющих линейным однородным законам преобразования. Эти величины называются тензорами и могут иметь произвольное число ковариантных и контравариантных индексов.
Закон преобразования тензора имеет вид
г:::5:::= ... (9)
дхр дх'
Это означает, что по каждому контравариантному (или ковариантному) индексу тензор преобразуется как контравариантный (или ковариантный) вектор. Полное число индексов (контравариантных и ковариантных) называется рангом 1J тензора.
Тензорная алгебра
Введем теперь алгебру тензоров. Поскольку тензоры-были определены только с точки зрения их трансформационных свойств, алгебра тензоров пока еще не введена. Определим операции сложения и умножения тензоров. Правило сложения задается следующим образом 2):
