Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 30. Вынужденное излучение.
Квантовые усилители и генераторы света
Спонтанное излучение возбужденного атома с точки зрения квантовой теории происходит скачком. Предсказать момент испускания атомом фотона невозможно, можно говорить только о среднем времени жизни т атома в возбужденном состоянии.
Вероятность спонтанного перехода и время жизни. Пусть теперь мы имеем совокупность очень большого числа атомов, которые образуют настолько сильно разреженный газ, что взаимодействием между атомами можно пренебречь. Каждый атом может находиться в различных квантовых состояниях, которым соответствует дискретный ряд уровней энергии. Будем для простоты считать, что атом может находиться только в двух состояниях: основном с энергией Ех и
248
VI. АТОМЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ
возбужденном с энергией Ег. Если какой-нибудь атом в момент времени t находится в возбужденном состоянии, то в последующий интервал времени At он может либо остаться в этом состоянии, либо перейти скачком в основное состояние, испустив фотон с энергией Е2 — Е{. Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в единицу времени из возбужденного состояния в основное через А21.
Пусть в момент времени t в возбужденном состоянии находятся N2 атомов. Так как атомы не взаимодействуют между собой, то переход в основное состояние они совершают независимо друг от друга. Поэтому число испущенных за промежуток времени At фотонов Ап пропорционально N2:
An = N2A2lAt. (1)
Если при этом никаких процессов возбуждения атомов не происходит, то изменение числа возбужденных атомов AN2, согласно (1), равно
AN2 = -N2A2lAt. (2)
Вероятность спонтанного перехода в единицу времени А21 не зависит от времени. Поэтому решение уравнения
d/V,
~dt~ ~ ~N2(t)A2l
имеет вид
Nl(() = Л20ехР(--Л210> (3)
где N20 — некоторая постоянная. Полагая в (3) t = 0, видим, что N20 равно числу возбужденных атомов при t = 0.
Таким образом, в отсутствие внешних воздействий число возбужденных атомов убывает со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени х, в течение которого число возбужденных атомов в результате спонтанного излучения уменьшается в е раз, — это есть среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Как видно из формулы (3),
х = 1М21. (4)
Вероятность спонтанного излучения обратно пропорциональна времени жизни т. Как следует из формулы (7) § 28, эта вероятность пропорциональна кубу частоты излучения.
Независимый, случайный характер процессов спонтанного излучения атомов проявляется в том, что различные атомы излучают неодновременно и независимо. Поэтому фазы, направления распространения и состояния поляризации разных цугов волн не согласованы друг с другом. Это приводит к очень важному следствию: спонтанное излучение некогерентно.
В присутствии электромагнитного поля, кроме спонтанного излучения, будут происходить и процессы возбуждения атомов, т. е.
§ 30. ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
249
переходы из основного состояния в возбужденное с поглощением фотонов с энергией hu> = Е2 — Ег Вероятность такого перехода пропорциональна объемной плотности энергии электромагнитного поля ш(ш) на частоте перехода и некоторому коэффициенту В12, характеризующему вероятность возбуждения данного атома. Полное число переходов Ап из основного состояния в возбужденное за промежуток времени At пропорционально числу атомов в основном состоянии N{. Поэтому
Если атомы находятся в термодинамическом равновесии с электромагнитным полем, то число переходов с поглощением фотонов и с их испусканием должно быть одинаково. Основываясь на этом, можно, приравнивая (1) и (5), найти вид функции ш(ш), т. е. спектральное распределение энергии равновесного излучения. Однако получающийся при этом результат не согласуется с экспериментом и с формулой Планка. Эйнштейн впервые показал, что для получения согласующегося с опытом результата необходимо предположить, что электромагнитное поле вызывает не только переходы атомов из основного состояния в возбужденное, но и переходы из возбужденного состояния в основное с излучением фотонов. Такие переходы, в отличие от спонтанных, получили название индуцированного или вынужденного излучения.
Число вынужденных переходов за время At пропорционально, как и число переходов с поглощением фотонов, плотности энергии электромагнитного поля на частоте перехода, числу атомов в возбужденном состоянии N2 и некоторому коэффициенту В21, характеризующему вероятность такого перехода в атоме. С учетом спонтанного излучения полное число переходов за время At из возбужденного состояния в основное равно
В состоянии термодинамического равновесия следует приравнять правые части в выражениях (5) и (6) и учесть, что отношение числа атомов в возбужденном состоянии к числу атомов в основном состоянии, в соответствии с равновесным статистическим распределением Гиббса, равно
