Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
г2ф = С; = (1.2,1)
1 -f- Є COS ф
где р9е — фокальный параметр и эксцентриситет планетной орбиты, С — постоянная площадей, равная удвоенной секториальной скорости планеты, а — среднее расстояние от Солнца, T — период обращения планеты, f — постоянная.
Восстановим в общих чертах переход от законов Кеплера (1,2,1) к закону тяготения. Ограничиваясь случаем системы двух тел, будем принимать во внимание взаимодействие данной планеты с Солнцем, пренебрегая действием других планет.
Отнесем изучаемое движение двух тел к инерциальной системе отсчета и обозначим радиусы-векторы точечных масс Mf т соответственно через T1, г2. Уравнения движения имеют вид
АЛ rf2rI Г С
м-щг = - F'. т ist = F*
где через F обозначена сила, приложенная к массе /п.
Перейдем к системе отсчета, связанной с массой М, т. е. к гелиоцентрическим координатам. Введя относительный радиус-вектор г = га — T1, получим уравнение относительного движения
&х т + М /1 9 9\ 12
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
Задача заключается в определении силы F, обеспечивающей выполнимость законов Кеплера (1,2,1).
Согласно первому из этих законов, относительное движение происходит в постоянной плоскости, проходящей через центральную массу. Введем в плоскости движения полярные координаты, совместив их начало с центральной массой и направив полярную ось через ближайшую точку орбиты, т. е. через перигелий. Проекции полного ускорения на радиус-вектор и на перпендикуляр к нему определяются известными формулами
/ ^r \ _ d?v і dip \\ / dh\ __ 1 d і. d<p\
[dt* Jr- dt* r\ dt ) > [dt* Jfp-- dt [r IT) * С помощью двух первых соотношений (1,2,1) получим
IfL) (Jl-L) _ о
( OflJr рг* '
Вводя период T обращения планеты вокруг Солнца и воспользовавшись очевидными формулами
^ 2nab Ь2
C = -^-; р = —, C2
согласно третьему закону Кеплера, находим — = 4я2/.
Следовательно, приложенная к планете сила имеет проекции
F — 4я2/ Mm р _ п
г ~~ г2 М + т ; ҐЯ>-и-
Это показывает, что между рассматриваемыми массами существует сила взаимного притяжения
'-TTS--Sl- «'-ад
Величина f, определяющая соотношение между средним расстоянием планеты от Солнца и периодом ее обращения, не может быть
а3
универсальной постоянной, поскольку, например, отношение уг
для системы Солнце — Земля сильно отличается от его значения для системы планета — спутник. Остается предположить, что эта величина обусловлена самими взаимодействующими телами, хотя в случае Солнечной системы она может зависеть от планеты лишь в незначи-
а3
тельной степени, так как для различных планет отношения -тр оказываются очень близкими. Однако наблюдаемые особенности планетных движений, происходящих под действием силы тяготения, не дают возможности непосредственно установить, какие именно свойства взаимодействующих тел определяют величину постоянной f. 2. Закон тяготения Ньютона как следствие законов Кеплера
13
На основании уравнения (1,2,3) можно утверждать, что законы Кеплера вместе с общими законами динамики Ньютона определяют зависимость силы притяжения от расстояния между взаимодействующими материальными точками, но не позволяют найти связь между величиной этой силы и какими-либо физическими параметрами тел.
Гравитацию следует считать особым свойством материальных тел, которое качественно отличается от других механических свойств. Мерой этого свойства должна служить особая физическая величина, позволяющая дать количественное выражение способности данного тела к гравитационным взаимодействиям с другими телами. Эта величина получила название гравитационной, или т я -ж е л о й, массы. Гравитационная масса материальной точки представляет собой величину, пропорциональную силе, с которой она действует на другую определенным образом выбранную материальную точку, помещенную на стандартном расстоянии от первой. В качестве единицы измерения можно было бы принять гравитационную массу частицы, которая притягивает с определенной силой такую же частицу, находящуюся, на расстоянии единицы длины. Однако имеется и другой, практически ,более удобный способ определения единицы измерения тяжелой массы. В качестве единицы принимают гравитационную массу стандартного тела, например шарика, изготовленного из определенного однородного материала и обладающего единичной инертной массой. При этом гравитационная масса другого тела, имеющего известную инертную массу, может быть найдена только путем измерений. Apriori невозможно судить о соотношении между ,инертной т и гравитационной т' массами какого-либо тела, отличного от выбранного стандарта.
Сила притяжения между двумя материальными точками должна быть пропорциональна гравитационной массе каждой из них. Поэтому закон притяжения можно представить в следующем виде:
P __ ут'М' Ґ — г2 '
где Y — коэффициент пропорциональности, играющий роль универсальной постоянной и подлежащий опытному определению.
Сравнивая эту формулу с (1,2,3), находим выражение для постоянной третьего закона Кеплера
+ (1,2,4)
Многочисленные измерения, выполненные с высокой степенью точности, показали, что отношение тяжелой и инертной масс одинаково для всех тел, вследствие чего при принятой единице гравитационной масоы должно выполняться равенство т = т\ 14
