Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Отношение масс Луны и Земли, по тому же международному соглашению 1964 г., определяется величиной = 81,30. Однако имеется более точное значение, полученное из недавних наблюдений лунников и космических ракет (США): =
= 81,3015 ± 0,0033.
Вычисления, выполненные с указанными значениями постоянных, дают 2.,66170 • IQT6 рад • сек, что прекрасно согласуется с наблюдаемым значением среднего движения Луны. Относительная величина различия не превышает 2 • Ю-6.
В пределах доступной в настоящее время точности выводы небесной механики, вместе с результатами астрономических наблюдений, подтверждают гипотезу Ньютона о том, что тяжесть у земной поверхности и сила тяготения, определяющая движение небесных тел в мировом пространстве, имеют одинаковую природу.
4. Равенство инертной и тяжелой масс. Закон всемирного тяготе* ния Ньютона, как мы видели, представляет собой следствие законов Кеплера и равенства инертной и тяжелой масс. Это равенство, выражающее наиболее характерную особенность полей гравитации, имеет в теории Ньютона фундаментальное значение, поэтому мы рассмотрим его подробнее. 4. Равенство инертной и тяжелой масс
17
Равенство инертной и тяжелой масс содержится уже в законе падения Галилея, согласно которому все тела при свободном падении в поле тяжести движутся с одинаковыми ускорениями. Пользуясь законом тяготения и вторым законом динамики, вычислим ускорение свободного падения.
Пусть на тело с тяжелой массой т' действует сила притяжения
где R и M' — радиус и тяжелая масса Земли. Согласно
второму закону динамики, эта сила равна С произведению инертной массы т данного тела на ускорение свободного падения. Следовательно,
— Ум' т'
& ~~ R2 ' т '
(1,4,1)
Поскольку первый множитель правой части является общим для всех тел, отношение
определяется величиной ускорения. Если
последнее не зависит от падающего тела, то
т'
— = const и поэтому, при соответствующем
выборе единиц, для всех тел должно выполняться равенство т' = т.
Непосредственное измерение ускорения при свободном падении тел в поле тяжести связано со значительными трудностями, поэтому проверка этого равенства с помощью (1,4,1) оказывается очень грубой.
Более точную эмпирическую проверку закона т' = т можно произвести, изучая колебания маятников.
Рассмотрим математический маятник, состоящий из нити длиной / и материальной точки с инертной и тяжелой массами m, т'. На материальную точку со стороны Земли действует вертикальная
сила притяжения F = /г2т/, где
Рис. 1.
/г2 -JEL
Im
е R2'
При малых отклонениях горизонтальная проекция этой силы равна —FtgQ = —пгтх. Поэтому уравнение колебаний маятника имеет вид X + пгх = 0. Решением его служит функция X = = A cos tit + В sin л/, отвечающая гармоническим колебаниям с периодом
п Vgm'
(1,4,2)
2 А. Ф. Богородский 18
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
Формула (1,4,2) показывает, что доказательством пропорциональности инертной и тяжелой масс может служить независимость периода колебаний от выбора тела маятника.
Впервые подобные опыты производились Ньютоном. Они описаны в Предложении VI третьей книги «Начал». «Я произвел такое испытание для золота, серебра, свинца, стекла, обыкновенной соли,
дерева, воды, пшеницы»,— замечает Ньютон и после краткого рассказа об условиях экспериментов добавляет, что даже разность меньше 0,001 полной массы была бы «с ясностью обнаружена этими опытами» [21.
В 1828 г. опыты с маятниками повторил Бессель [41, применявший грузы из самых разнообразных материалов (различные сорта латуни, железо, свинец, серебро, золото, метеоритное железо, мрамор, кварц и др.). По тщательности они значительно превосходили опыты Ньютона, однако и их точность оставалась относительно низкой. Высокая точность была достигнута только в опытах Эт-веша [51, результаты которых не оставили серьезных сомнений в пропорциональности тяжелой и инертной масс.
Первая серия экспериментов Этвеша выполнена в 1889, вторая — в 1908 г. Принципиальная схема этих экспериментов показана на рис. 2. Пусть унифиляр AB вместе с системой отсчета равномерно вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью со. Считая тяжелые массы тел А и В одинаковыми, обозначим их инертные массы через mt, m2. Центробежное ускорение, обусловленное вращением всей системы, равно <oV, где г — расстояние унифиляра от оси вращения (это расстояние принимается весьма большим по сравнению с плечом AB). При различии инертных масс на тела Л, В действуют различные центробежные силы Zn1CoV и т2со2г, которые создают вращающий момент (т2 — mx)cоV2. Вследствие этого унифиляр должен испытать кручение, при котором возникает такой же вращающий момент противоположного направления. Обозначив угол поворота через Д<р, можно написать
Мф = (т2 — Jnl) о>2г2, (1,4,3)
где k — коэффициент, зависящий от свойств унифиляра.
В опытах Этвеша вращающейся системой отсчета служила
Рис. 2. 4. Равенство инертной и тяжелой масс
19
ЗеШя, вследствие чего угол между вертикальным направлением и офзЮ вращения зависел от географической широты места наблюдений Опыты Этвеша были выполнены весьма тщательно и подтвердили равенство инертной и тяжелой масс с относительной точностью 5 IO""9. В 1935 г. их повторил в Венгрии Реннер.
