Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
f = grad ф,
(1,5,1)
(1,5,3)
Такой же формулой определяется потенциал во внешних точках поля, созданного телом со сферическим распределением массы. 22
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
Во внутренних точках этого тела потенциал на расстоянии г от центра равен
R
Ф = j^1 + 4яу J р (г) г dr. (1,5,4)
г
Через M (г) здесь обозначена масса внутренней части тела, ограниченной сферой радиуса г.
Соответствующая потенциалу (1,5,4) напряженность, как
нетрудно убедиться, равна уМ2^ и направлена к центру; она
обусловлена массой M (г) внутренней области, тогда как внешний сферический слой создает в этой области поле с постоянным потенциалом, которому отвечает нулевая напряженность.
В частном случае, когда р = const, формула (1,5,4) дает
Ф = 2яЇР|/?а-4-г2), (1,5,5)
вследствие чего напряженность по абсолютному значению оказывается равной -у яург.
В приложениях встречаются случаи, когда распределение плотности заметно отличается от сферического. Вблизи такого тела поле гравитации может иметь очень сложное строение. Однако, по мере удаления от тела, резкие особенности в строении поля постепенно сглаживаются, и на достаточно большом расстоянии поле имеет почти такую же структуру, как в случае материальной точки. Если г — расстояние от центра массы тела, R — характерный размер
R
последнего, то с относительной точностью порядка ~ включительно гравитационный потенциал при любой форме тела совпадает с (1,5,3).
Во внешних точках гравитационный потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа
У2ф = 0, (1,5,6)
а во внутренних точках тела — уравнению Пуассона
У2ф = — 4яур. (1,5,7)
Изучение уравнений Лапласа и Пуассона составляет предмет теории потенциала, рассмотрение которой не входит в нашу задачу. Отметим только, что в этой теории фундаментальное значение имеет следующая теорема Дирихле: если функция ф вне масс отвечает уравнению (1,5,6), внутри масс—уравнению (1,5,7) и вместе со своим градиентом остается конечной и непрерывной во €. Небесная механика
23
всем пространстве, стремясь на бесконечности к нулю, как -у,
то она имеет единственное значение, совпадающее с (1,5,2). Из этой важной теоремы следует, что задание гравитационного потенциала соотношением (1,5,2) эквивалентно его заданию с помощью уравнений (1,5,6) и (1,5,7). При указанных свойствах гравитационного потенциала уравнения Лапласа и Пуассона вместе с формулой (1,5,1) являются лишь иным выражением закона тяготения Ньютона.
6. Небесная механика. На основе общих законов классической динамики и закона всемирного тяготения Ньютона возникла и получила широкое развитие небесная механика, предметом которой является изучение движения небесных тел, главным образом тел Солнечной системы. Обыкновенно в небесной механике учитываются только гравитационные взаимодействия между изучаемыми телами, тогда как силы иной природы не принимаются во внимание. В большинстве случаев такие силы (например, сопротивление среды, электромагнитные взаимодействия и др.) не оказывают заметного влияния на движение небесных тел, но при определенных условиях они могут играть значительную роль. При изучении движения тел Солнечной системы учитываются лишь внутренние силы, поскольку внешние воздействия на систему, т. е. силы, приложенные со стороны других небесных тел (например, со стороны ближайших звезд), обыкновенно пренебрежимы. Расстояния между членами Солнечной системы велики по сравнению с их размерами, поэтому при изучении движения эти тела можно рассматривать как материальные точки. Такому упрощению способствует также почти сферическая форма всех крупных членов Солнечной системы — Солнца, больших планет и их спутников.
Простейшей из задач небесной механики является задача двух тел, исчерпывающее решение которой найдено еще Ньютоном. С математической точки зрения она приводит к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Поэтому общее решение задачи содержит шесть постоянных интегрирования, которые играют роль параметров, однозначно определяющих все обстоятельства движения. В астрономии принят исторически сложившийся выбор таких параметров, получивших название элементов орбиты.
На рис. 4 изображена система декартовых прямоугольных координат, начало которой совмещено с центром Солнца. Плоскость ху совпадает с плоскостью эклиптики, в которой происходит годичное обращение Земли вокруг Солнца, а направление оси х связано с некоторой точкой небесной сферы (так называемой точкой весны), которая может быть с большой точностью определена из наблюдений. В соответствии с задачей двух тел геоцентрическое движение планеты происходит вокруг Солнца по законам Кеплера. Плоскость 24
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
орбиты пересекается с плоскостью эклиптики по линии узлов ON. Узел N9 в котором планета находится в момент перехода из области отрицательных значений координаты г в область положительных значений, называется восходящим; противоположный узел орбиты называется нисходящим. Угол Q, определяющий направле-2 ние из центра Солнца на восходя-
