Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
dQ___Г sin (со + ф) дег.
dt ~~ ±
па2 (1 — б2) 2 sini
di _ г cos (со + ф)
dt —
па2 (1 — е2) 2 і і
den _ (1 — е2) 2 cos ф D t (1 — g2)2 sin ф I1 г \ с
~2Г- пае И + Ш-V + Tl
T sin (ю -f ф) Ctg/ ^ па2 (1 — е2)Т
da___2е sin ф D . 2а (1 — е2) 2 Q de (1 — е2) 2 sin ф D
ЧГ- T^+ JTr-IT =-Та Н +
л(1-е2)
2
J_
О — g2)2
па2е
[iflFiHs (IAl)
4?----LZJL-J^L cosT)s-il^hil»/l +-L)
dt па \ а е ^J пае \ р ]
S.
Для элементов орбиты здесь приняты указанные выше обозначения. Величина п представляет собой среднее движение, соответствующее оскулирующей орбите, о = — пх. Полярный угол ф (так называемая истинная аномалия) отсчитывается от оси, проведенной из фокуса через перигелий орбиты.
Если возмущающее ускорение достаточно мало, то элементы орбиты изменяются со временем медленно, и потому, применяя уравнения (1,6,1) к не очень большим промежуткам времени, в правых частях этих уравнений можно сохранить постоянные значения элементов. €. Небесная механика
27
Во многих случаях оскулирующие элементы удобно рассматривать в виде функций истинной аномалии. С этой целью уравнения (1,6,1) следует преобразовать с помощью законов Кеплера, которые мы напишем в форме
-JL _ JL Jm _ ± JL
P dt о,, 2 2 „ ,2 2 Z1 2\ 2
Г== 1 +gcosy ' = ^ P • " = P •
(1.6,2)
где JX = Y (М + /л).
Умножая уравнения Лагранжа на ^t приведем их к следующему виду:
aQ __ sin ((о + у) aq> iipsiai *
di _ cos (о) + у) ^u Жр fip
_ _ COSy j&D (2 + Є COS у) Sin у _ Sin (О) + у) COt І d(p це * 1 ypg [і р
(1,6,3)
_ 2pg sin у о, 2 /j2 о
cfy "" |і (1 — g2)2 ^ ^(1 —в2)2 ГО'
^g _ Siny Г2Р , g -f- 2 cos у + g COS2 у «g. dq> [і [ip
da (1—g2)2 /0 2 ч чп
djT = ~ цре (2g - cos ф-g cos* ф)^-
-(1-^s'nq>(2 + gcosy)r»S.
Если X, У, Z — декартовы проекции возмущающего ускорения, вычисленные в системе координат рис. 4, то принятые в уравнениях Лагранжа проекции R9 S1 W находятся по формулам
R = X cos а і +Y cos а 2 + Z cos Ot3;
S = X cos P1 -f У cos P2 + Z cos ?3; (1,6,4)
W = X cos Yi + Y cos Y3 + Z cos Ys,
где аь plf ..., Yi, ... — углы между направлениями Rt S, W и осями декартовых координат. Из рис. 4 непосредственно следуют соотношения
COS OC1 = COS (CD + ф), COS OC2 = sin ((0 -f- ф) cos i9
cos а3 = sin (со + ф) sin і; 28
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
COS ?i = — sin (<o -J- ф), COS ?2 = COS ((D + ф) cos i,
cos?3 = cos (G) + y)s\ni; (1,6,5)
cos Yi = 0; cos Y2 = ~ sin i\ cos Y3 == cos і.
В некоторых случаях возмущающее ускорение удобнее задавать другим способом, чем это принято в уравнениях (1,6,1) и (1,6,3). В плоскости орбиты ускорение проектируют на радиальное направление и на направление скорости планеты. Возмущающее ускорение задают при этом проекциями /?, T9 W1 преобразуя соответствующим образом уравнения для оскулирующих элементов.
Далее мы будем во всех случаях пользоваться уравнениями Лагранжа в форме (1,6,1) или (1,6,3), так как возмущающее ускорение T нетрудно заменить проекциями на радиус-вектор и на перпендикуляр к нему. Эти проекции определяются формулами
R = T cos a, S = Tsina, (1,6,6)
где через а обозначен угол между направлением радиуса-вектора и скоростью движения планеты. Его находят с помощью соотношений
?sin<p . 1 4-е cos <р /і TV
cos ос = v-, sing= r ^ --. (1,6,7)
у 1+e2-f-2ecos<p Kl+*2 + 2ecos<p v
7. Принципиальные недостатки теории Ньютона. Как известно, небесная механика Ньютона широко разрабатывалась и долгое время служила образцом для других разделов классической физики. Она позволила с большой точностью объяснить особенности движений тел Солнечной системы и привела к открытию новой планеты, предсказанной Леверье и Адамсом путем анализа наблюдаемых неравенств в движении Урана. Однако, отмечая быстрое и успешное развитие небесной механики Ньютона, необходимо также указать на серьезные принципиальные недостатки в ее физических основах.
Одним из них является необъяснимость пропорциональности инертной и тяжелой масс. Эта пропорциональность свидетельствует о глубокой связи между двумя совершенно различными физическими свойствами материальных тел: пассивным стремлением сохранить состояние движения и способностью к активному гравитационному взаимодействию с другими телами. В механике Ньютона равенство tri = т никак не объясняется; оно как бы случайно, а выраженная им связь между тяготением и инерцией не находит истолкования. Мы можем только сказать, что, при соблюдении равенства rti = т в заданном поле тяготения, ускорение материальной точки не зависит от ее массы и является характеристикой поля, совпадая с вектором напряженности в данной точке. Эта закономерность представляет собой наиболее общую и харак- 7. Принципиальные недостатки теории Ньютона
29
терную особенность гравитационною поля, отличающую его от силовых полей другой природы, и потому отсутствие ее объяснения приходится признать важным недостатком теории.
Второй закон динамики Ньютона, связывающий величину приложенной к телу силы с вызванным ею ускорением, выполняется в обычной форме лишь в инерциаль-ной системе отсчета. При переходе к неинерциальным координатам эта форма нарушается, поскольку в уравнение движения приходится вводить так называемые силы инерции, обусловленные не взаимодействием данного тела с другими материальными телами, а законом движения избранной системы координат.
