Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
3 1961 г. очень интересный эксперимент осуществлен Дике [В], Для выяснения его основной идеи представим унифиляр с двумя грузами, расположенный над по/юсом и принимающий участи і во вращении Земли. Вместе с Землей унифиляр каждые 24 ч побЬрачивается на 360°, совершая при этом движение в поле тяготения Солнца. В орбитальном движении вокруг. Солнца грузы А и В имеют ускорения
УМ® тх а2 тл
Ум® т2
Рис. 3.
где ти щ и mi, m2 — их инерт- д ные и гравитационные массы соответственно, Mq — гравитационная масса Солнца, а — расстояние последнего от Земли. Если эти ускорения одинаковы, то коромысло унифиляра будет покоиться относительно Земли. Если же инертная и тяжелая массы не пропорциональны и потому указанные ускорения различны, то груз с большим ускорением периодически ускоря-» ет или замедляет равномерное вращение коромысла. В системе отсчета, связанной с Землей, унифиляр должен в этом случае совершать колебания с периодом 24 ч. Отсутствие таких колебаний и будет служить доказательством пропорциональности инертной и тяжелой масс.
В опытах Дике, производившихся с соблюдением всевозможных предосторожностей и в условиях высокого вакуума, равенство инертной и тяжелой масс проверено с относительной точностью около Ю"""10 (по сравнению с экспериментами Этвеша точность повышена приблизительно в 50 раз).
Равенство инертной и гравитационной масс может быть также проверено путем сравнения выводов небесной механики с данными астрономических наблюдений, хотя по точности такая проверка значительно уступает лабораторному эксперименту. В качестве примера сравним отношения гравитационной и инертной масс для Луны и для искусственного спутника Земли. 2* 20
Г лава /. Закон тяготения Ньютона
Применив третий закон Кеплера к невозмущенному движению Луны и воспользовавшись соотношением (1,2,4), получим
аі Y /АЛ . \ м' W
= ~~М рГ* '
где а1э T1 — среднее невозмущенное расстояние и период обращения Луны, Mt Mr и Ji, ji' — инертные и тяжелые массы Земли и Луны соответственно.
Для искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли по круговой орбите радиуса /?, этот же закон выражается уравнением
Rz = уМ AT т' Т2 - 4я2 M m 9
где, как и прежде (см. п. 3), период обращения связан с ускорением силы тяжести формулой
T = 2л Y^J-. Комбинируя полученные равенства, имеем
4я2Ai
.3
-(' + і
gB*T\ \ 1 м ' ja
m
или, если ввести среднее движение Луны и геоцентрическую гравитационную постоянную,
2 3
JA' . т' п\а\ [л , fji \—1
jx m
(! + . (1,4,4)
Подобным же образом можно произвести сравнение гелиоцентрического обращения Земли с Луной и искусственной планеты.
В этом случае получается формула
+ . ^L - J&L (і + М + У Г1 п 4 »
связывающая отношения гравитационных и инертных масс Земли с Луной и искусственной планеты в зависимости от гелиоцентрической гравитационной постоянной S, среднего движения Земли и большой полуоси а земной орбиты.
Вычисления показывают, что правые части формул (1,4,4) и (1,4,5) отличаются от единицы на величину порядка IO""6. Более точная проверка оказывается невозможной, поскольку соотношение между входящими в эти формулы массами известно в настоящее время с относительно большими погрешностями. 5. Гравитационный потенциал
21
Итак, мы видим, что принятое в механике Ньютона равенство инертной и тяжелой масс является надежно установленным эмпирическим законом, который с высокой степенью точности подтверждается лабораторными опытами и хорошо согласуется с результатами астрономических наблюдений.
5. Гравитационный потенциал. Основной характеристикой поля тяготения служит напряженность, т. е. отнесенная к единице массы сила, действующая на частицу, помещенную в данную точку поля. В дальнейшем напряженность обозначим через f. Пользуясь этим понятием, гравитационное поле с математической точки зрения можно рассматривать как векторное поле, изображаемое семейством силовых линий, т. е. линий вектора f.
Из закона тяготения Ньютона непосредственно следует, что векторное поле напряженности связано с полем скалярной функции, получившей название гравитационного потенциа-л а. Эта связь определяется известным соотношением
показывающим, что в каждой точке поля напряженность направлена по нормали к поверхности равного потенциала. Таким образом, силовые линии поля гравитации являются семейством ортогональных траекторий поверхностей постоянных потенциалов.
Гравитационный потенциал в данной точке поля с декартовыми координатами лг, у, z определяется формулой
где dx — элемент объема в точке у', z', р — плотность в той же точке, г — расстояние элемента dx от данной точки Xf у, z. Интегрируем по координатам х\ у', z' в пределах объема тела, создающего рассматриваемое поле. Нетрудно показать, что если размеры и плотность этого тела конечны, то гравитационный потенциал и соответствующая ему, согласно (1,5,1), напряженность конечны и непрерывны во всех точках поля, расположенных как вне, так и внутри тела.
В простейшем случае, когда источником поля тяготения служит материальная точка с заданной массой М, потенциал поля на расстоянии г равен
