Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(a, t)— J U(а, t\ а0, *0)Ф(я0> t0)da0, (16.11)
где U(a,t; а0, /„) есть унитарная матрица канониче-
ского преобразования от переменных а0 к переменным а. Она удовлетворяет уравнению Шредингера:
ih?L = HU, (16.12)
где Н — гамильтониан системы. Если для U выбрать начальные условия так, что
(J = b(a~ а0) при t = t0, (16.13)
U = 0 при t<t0, (16.13*)
то U совпадает с рассмотренной ранее функцией Грина © для уравнения Шредингера (16.12).
Возьмем в (16.11) вместо момента t (который произволен) какой-нибудь момент времени t\, t0<ti<t. Тогда (16.11) будет преобразовывать функцию гр(<з0, /о) в функцию i|)(ai, ti). Мы можем теперь взять
141
^(aj./i) за начальную функцию и с помощью U(a,t\ auti) получить вновь функцию tp(a, /) для t>ti\ очевидно, что при этом мы будем иметь:
ф (a, t) — J dax J da0U (a, t\ ax tx) X
X U(ax, tx] a0, t0) Фо К, ^o)* (16.14)
Повторяя эту процедуру введения промежуточных моментов времени to<ti<t2<. . .<tN = t и соответствующих этим моментам значений динамической переменной аи а2, ..., ajv = fl( = a, мы можем представить матрицу преобразования U(a, t; а0, t0) в виде:
LJ (fl, /, Дд, to) —
= J .. . J dax da2 ... daN_xU (a, t; aN_v tN_x) X
X U (a,/v_i, tN_i, йдг_2> tN-2) • • •
... U(д2, ®i> t\)U#0) *0). (16.15)
т. e. как последовательность «переходов» a0—>-а4—*-аг—*¦... . .. —aN-i-*aN при возможных значениях промежуточных переменных аи а2, ..., aN-4. Эта формула аналогична классической формуле для цепи Маркова [4]:
3°(а, t/a0, t0) —
= j . .. J dax da2 ... daN_xSP (a, t\ aN_lt tN_x) X
XS°(aN_v tN_i, йдг_2, tN-2) ¦
... t2', a\. ^)<^°(ai, tx\ a0, t0), (16.16)
где SP (ah, th\ a.h-i, th-i) есть вероятность перехода за время th—th-i из состояния аи-i в состояние аи-
Формула (16.16) представляет вероятность перехода из состояния а0 в момент t0 в состояние а в момент /(/>/„) как результат всевозможных переходов по промежуточным значениям переменной а.
В квантовую формулу (16.15) вместо вероятности входят амплитуды вероятностей U, которые связаны с вероятностью соотношением
^ ak~\> t k-\) — \U (ak> tk' а!г-\> ^*-l)|2‘ (16.17)
142
Благодаря этому различию внешне схожие формулы (16.15) и (16.16) принципиально отличаются друг от друга.
Вернемся теперь к формулам (16.14) и (16.15) и будем считать, что переменная а есть декартова координата микрочастицы х. Обозначим, далее, th+i—th — = At и положим, что для малых At функцию преобразования U можно представить в виде:
U{xkn, tk + l; хь, tk) = -^eh S{Xk+vX* А'\ (16.18)
где А — нормирующий множитель (не зависящий от xk,ih), a S(x/?+), xh, At) — фаза U.
Для свободного движения эта фаза в точности совпадает с классической функцией действия, поэтому можно допустить, что это окажется верным и для случая наличия внешнего поля, описываемого потенциалом V(х). Предположим, что это верно. Тогда
5(**+1, At) = [^(^-**)2-1/(x, + i)]a;, (16.19)
где m — масса микрочастицы.
В пределе бесконечно мелкого дробления интервала (t0, t) получим:
S(x, х, dt) = \]^tnx2— V(x)jdt. (16.20)
Эта величина есть элемент классического действия за
время dt; x(t)= lim Хк + \. Хк есть скорость ча-дг->о лг
стицы в момент временив, L(x, х) = -^- nix2— V (х) —
классическая функция Лагранжа.
Покажем, что волновая функция ф(х, /), полученная с помощью преобразования (16.11), при предположениях (16.18) и (16.19), удовлетворяет уравнению Шредингера:
М.)
Для доказательства *) рассмотрим преобразование от ф(лг, t) к ф(лг, t-\-At)\
ф(л. < + Д<)=^ / =xp(l{^[^tLp^
— ^(Хлг-и)! А/1) ^(лгд-, t)dxN. (16.22)
Положим xN+i — xN = лтдг+1=х. Тогда вместо
(16.12) получим:
1 г .LiS-l!_-Vix)&t
ф(х, t-\-kt) = -? J ен 2 &t h d\^{x~l,t).
(16.22*)
Разлагая ф (*—fc, <)=ф (л:, t)-^^ 1+1 |2+-
и выполняя простое интегрирование по ?, получим:
44*. t) + ^^-At + ••• =
0 +
+ А< + 0(А<2)]. (16.22**)
Выбирая нормировочный множитель А равным
I 2nlh М\!/2 <hii\Vtr\At
1-------' и разлагая еще в ряд e~(t/h) ^w“ =
I т
= 1—g-V(х)..., убедимся, что при Д^-»0
ф(х, ^действительно удовлетворяет уравнению Шредингера (16.21). Это позволяет написать (16.15) в виде:
U (х, t; х0, t0) =
Д0 dxN dxh
N Л
А А
= f . .. J е *-»................ах" аХ"~1
(16.23)
*) Это доказательство принадлежит Фейнману [3]. Впервые на -связь фазы 5 с классическим действием L, видимо, указал
Дирак [5].
144
где S(xk, хк_г, At) — классическое действие за время At, определяемое (16.19).
Если заменить 1/Л на ^ > О, то интеграл
(16.23) имеет смысл и при /V—>00, At = N~- —>0,
как функциональный интеграл по мере Винера.
Интеграл (16.23) при Л/-*оо есть предел этого функционального интеграла при 6—*0 (см. [6]). При А^—>-0
N
сумма 2 $ (хк< хк-1< переходит, согласно
k^=l
(16.20), в интеграл классического действия за время от to до t:
| L\x{т), x{x)\dx = S(x, t, х0, /0);
dx¦ dxNdx. объем —j1------------------^— • • • —j- при N-*оо запишем сим-
волически как dW{x(x)}. Тогда вместо (16.23) получим:
i
i- f L x (t) )dx
U(x, t\ x0, t0)— | dW {x(x)}e . (16.24)
Иными словами, функция преобразования «амплитуда вероятности» U(x,t; х0, to) может быть представлена как функциональный интеграл по всем траекториям, ведущим из точки (хй, t0) в точку (х, t). Каждая траектория х(х), х(х), to-^r^Ct дает вклад в амплитуду U(x, t; х0, to), равный
