Кристаллы квантовой и нелинейной оптики - Блистанов А.А.
ISBN 5-87623-065--0
Скачать (прямая ссылка):
h
Используя условие непрерывности на границе 2 - 3 (х = d) и
1) приравнивая A cos(~hd) - (qlh)A sin(-hd) =Dcxp \p(x + d)], получим
D = A[cos(-hd) + (q/h)sin(hd)];
2) приравнивая производные (17.9, 6) и (17.9, в) по х с подстановкой значений D, В, С и х = -d, получим
A [cos(hd) + (q/h)sin(hd)]p = A [hsin(hd) - qcos(hd)].
Разделив правую и левую части этого равенства на cos(hd), получим
р [1 + (qlh)tg(hd)] = htg(hd) - q
или
374
Рис. 17.2. Система координат в трехслойном волноводе
имеет вид
%у(х) =
A exp (-qx)
Bcos(hx) + С sin (hx) D exp \p(x + d)]
Рис. 17.3. Форма мод симметричного (а) и асимметричного (б) волновода
tg (hd) = (p + q)l
h 1
РЧ
(17.11)
Решение (17.11) дает набор разрешенных значений рт, qm и hm, которым согласно (17.10) соответствует набор значений рт, определяющий набор оптических мод, существующих в волноводе.
Часто нет необходимости знать весь набор значений рт, достаточно выяснить, может ли в волноводе распространяться данная конкретная мода. Этот вопрос легко решить для так называемого «симметричного» волновода. Симметричным называют такой волновод, в котором волноводный слой находится между слоями с одинаковыми показателями преломления. Такие волноводы могут создаваться, например, в многослойных интегральных схемах на основе GaAlAs. В симметричном волноводе р = = кщ и, следовательно,
р = q = 0; Л = к(п\ - и?)1/2 = к(п\ - «2)1/2. (17.12)
С учетом этого выражение (17.11) превращается в равенство
tg(M) = 0. (17.13)
Из (17.13) следует, что
hd = тсп , где тс = 0, 1, 2, 3, 4 ... (17.14)
Подставляя Л из (17.12) в (17.13), получаем
к(п\ - n\)md = тсп. (17.15)
Выражая к через длину волны X (к = 2п/Х), из (17.15) получим условие, при котором мода с номером тс может распространяться в волноводе
Ап = (п2 - Hi) > m2cX^/[4d2(n2 + и()].
(17.16)
Выражение (17.16) показывает, каково должно бьггь Ап для того, чтобы в слое толщиной d могла распространяться мода тс, где тс -число волн, укладывающихся на длине d (рис. 17.3).
375
Рис. 17.4. Распространение волны с волновым вектором njc в среде с наибольшим показателем преломления. А и D - точки, в которых фаза волны одинакова; В н С -точки отражения от поверхности раздела; d - расстояние между границами раздела сред
В том случае, если << л3, волновод является несимметричным. В частности, асимметричным является волновод, у которого оптически плотный слой создан на поверхности подложки и граничит с воздухом или покрыт слоем металла. В этом случае в (17.11) р * 0 и для нахождения условия распространения мод типа (17.13) нужно решать уравнение (17.11) графически или на ЭВМ. В [5] предложено приближенное решение, позволяющее найти соотношение между Ап и d для асимметричного волновода. Это решение основано на сходстве распределения поля в асимметричном волноводе, имеющем толщину d, и в симметричном волноводе удвоенной толщины 2d. Это сходство видно из сравнения рис. 17.3, а ирис. 17.3, б, на котором представлены две ТЕ-моды низшего порядка симметричного (тс = 0,1) и асимметричного (та = 0,1) волноводов. Видно, что нижняя половина моды симметричного волновода тс = 1 хорошо соответствует моде т„ = = 0 асимметричного волновода половинной толщины. Учитывая это обстоятельство, можно для нахождения условия отсечки в асимметричном волноводе толщиной d воспользоваться выражением (17.16) для симметричного волновода удвоенной толщины 2d
Ап = (п2 - п3) > т*Хо/[4(п2 + n3)(2rf)2]. (17.17)
Асимметричный волновод поддерживает только те моды, которые соответствуют нечетным модам симметричного волновода удвоенной толщины. Следовательно, условие отсечки для асимметричного волновода толщиной d определяется выражением
Ап = (и2- и3) > w2A^/[16(n2 + ЛзУ2]. (17.18)
Здесь та состоит из нечетных значений тс, т.е. та = (2т + 1), т = 0, 1,2, 3,4...
С учетом этого (17.18) можно переписать в виде Ап = (пг - л3) > [(2т + 1)2А^]/[16(п2 + nfjd2]. (17.19)
Из сравнения (17.16) и (17.19) видно, что в асимметричном волноводе можно отсечь все моды, а в симметричном волноводе моду тс = 0 376
отсечь нельзя [для тс = 0 равенство (17.16) превращается в Ли = (п2 -
Направления волновых векторов дискретных мод, существующих в данном волноводе, можно найти, рассмотрев изменение фазы волны на пути между точками волновода, оптическая длина пути между которыми равна длине волны - точки А и D на рис. 17.4. Волна Еу -^у(х) ехр[/'(мг - рz- ух)] за период Т = l/2rao проходит путь ABCD. На этом пути фаза волны меняется на величину
где со Т- рДг = 2л - изменение фазы данной моды на пути AD;
2021 и 2Фгз - изменение фазы волны при отражении от границ раздела 2 - 1 и 2 - 3; h = konzcosq>m.
Выражение (17.20) можно переписать в виде
- 2hd + 2Фц + 2Фц = 2mn. (17.20, а)
Величины сдвигов фаз при отражении можно найти [6] из равенств
tg021 = (njSin^ - nf)1/2/n2cosq>2; (17.21, а)
tg023 = (w|sin292 - niy/2/n2cosq>2- (17.21, 6)
Углы распространения мод колебаний, разрешенных в данном волноводе, можно определить, решая численными методами уравнение
к0п2 dcos<pm = Ф21 + Ф23 - пт. (17.22)
