Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Е = J Ф'* (х) tiН' (х) Ф' (х) d3x = J Ф*(х)цН (х) Ф (х) d3x (9.79)
Полученные простые соотношения между средними значениями в двух представлениях наводят на мысль о введении матрицы Л — ( о —1 ) в 0бщее определение среднего значения:
(0')= J Ф'ЧдОпО'МФ' (x)d3x= J Ф'МпОМФМЛ^О); (9.80)
здесь О' (х) = eisO (л) e~is.
Без матрицы т] мы не получили бы такой простой связи между выражениями в двух представлениях. Введение матрицы т] в определение (9.80) соответствует умножению на (—1) средних значений, наблюдаемых для системы в состоянии с отрицательной частотой. Это связано с требованием, чтобы решения с отрицательной частотой распространялись назад во времени и процессы испускания н поглощения менялись местами. При этом физические наблюдаемые оказываются связанными со взятыми со знаком минус параметрами решений с отрицательной энергией.
Для позитронов распространение назад во времени отрицательных частот обеспечивается теорией дырок; для бозонов нет теории дырок и мы должны либо довольствоваться тем, что дает
ЗАДАЧИ
207
метод функции распространения, либо обратиться к формализму квантовой теории поля.
В заключение подчеркнем, что мы дали вероятностную интерпретацию решениям тех физических задач, относящихся к бозонам, для которых последовательность преобразований Фолди — Ваутхайзена сходится. В частности, для свободных частиц мы построили точное преобразование, разделяющее решения, соответствующие положительным и отрицательным частотам, или частицам и античастицам. Поэтому мы поступали правильно, когда в (9.21), (9.22) и (9.24) рассматривали S-матрицу как амплитуду вероятности.
Заряд, которым бозон отличается от антибозона, не обязательно должен быть электрическим, а может иметь совсем другую природу. Существуют, например, мезоны К0 и К0, которые электрически нейтральны, но являются античастицами по отношению друг к другу, различаясь знаком заряда, называемого «странностью» [50]. Кроме того, бозон может вообще не нести никакого заряда и в этом случае он совпадает со своей античастицей, как я°-мезон. В этом случае волновая функция является действительной и Q(х) =s0.
ЗАДАЧИ
1. Вычислите в первом борновском приближении в лабораторной системе дифференциальное сечение кулоновского рассеяния я+-мезона на /(“-мезоне.
2. Вычислите в системе центра инерции дифференциальное сечение рассеяния я+-мезона на я+-мезоне и сравните с формулой (7.84) для рассеяния электрона на электроне.
3. Вычислите дифференциальные сечения тормозного излучения я+-ме-зопа в кулоновском поле и рождения пары я+я~ и сравните с формулами Бете — Г айтлера.
4. Найдите полное сечение рождения пары я+я- в ультрарелятивист-ском пределе Е > тс2 и сравните с аналогичным результатом для электрон-позитронной пары.
5. Вычислите вклад пар я+я~ в поляризацию вакуума и дайте интерпретацию знаку полученного ответа.
6. Найдите электромагнитную собственную энергию Я+-мезона и сравните с аналогичной величиной для электрона.
7. Проверьте, что для заряженных Я-мезонов, как и для электронов,
перенормировочные константы для волновой функции и вершины во втором порядке равны друг другу, т. е. Z\ = Z2, (р, р) = — <32 (р)1др]1.
8. Найдите уровни энергии я~-мезона в кулоновском поле.
9. Установите классическое соответствие для уравнения Шредингера для я-мезона с помощью выводимых из (9.74) соотношений Эренфеста.
10. Постройте фейнмановский пропагатор для векторных мезонов, удовлетворяющих свободному волновому уравнению
•j (? -f- т2) g^v } 0V = 0.
11. Приведите аргументы в пользу правила 4 из приложения Б, «Электродинамика бозонов со спином 0». Покажите, что с точностью до порядка е4 это правило приводит к унитарной амплитуде упругого ц+ — я_-рассечния.
ГЛАВА 10
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
§ 48. Введение
В этой главе мы применим метод функции распространения, развитый для электромагнитного взаимодействия частиц со спином 0 и '/г, к другим типам взаимодействия элементарных частиц. Эти взаимодействия делятся на три различных класса. Во-первых, имеется гравитационное взаимодействие, которое в обычных лабораторных условиях характеризуется чрезвычайно малой безразмерной константой, равной (M\M2Gjbc) Ю~40, и которым мы будем пренебрегать. Ко второму классу относятся слабые взаимодействия, приводящие к превращениям одних частиц в другие, например p-расиад и распады зт~-, К~- и ju-мезо-нов (см. § 50). Слабые взаимодействия в области малых и средних энергий (с<;1 Гэв) могут быть охарактеризованы безразмерной константой, имеющей величину от 10-5 до 10~6. Наконец, существуют сильные взаимодействия с константой i>,l. Сильное взаимодействие ответственно за силы, которые удерживают нуклоны в ядре и за рождение частиц л, К, Л, 2 и S в реакциях типа (9.2).
Теория слабых и сильных взаимодействий не развита до того уровня, чтобы вызванные ими эффекты могли быть рассчитаны из общего принципа, такого, как, например, принцип эквивалентности и требование ковариантности в теории тяготения или принцип «минимального электромагнитного взаимодействия» (на основе которого электромагнитное взаимодействие вводится путем замены [92] р^-> Рц — еА^). Не имея подобной фундаментальной исходной идеи, мы для выбора возможного вида взаимодействия вынуждены обратиться непосредственно к экспериментальным данным, а также к принципам симметрии и в первую очередь к лоренцевой инвариантности.
