Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись (9.62) и записывая в этом представлении решения с положительной частотой по аналогии с (9.53):
Ф«+) (*) = е~1Е** ( J ) (х), (9.63)
получаем
[(т+;йг_-^+ ...)] + еф +
+ -з^г К [*2, е(Р]] • • • J <+) (х) = (х). (9.64)
204 УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА [ГЛ. 9
Плотность вероятности равна
Р (х) = | Ф;(+) (х) I2 = | г|^+) (х) |2, (9.65)
а собственное значение энергии Еп совпадает, как и в (9.56),
со средним значением гамильтониана:
Еп = S Ч+)* (*) Н' (*. е) г|)<+> (х) d3x, (9.66)
где Н' (х, е) — оператор, стоящий в левой части (9.64):
Н'{х,е) = (т+^-~+ ...) + еф+32^[*2Л*2,«Р]]+ ...
(9.67)
Решения с отрицательной частотой запишем в виде (9.57):
Ф;(-)(*) = е+'в»'(;)^-)(х). (9.68)
Тогда из (9.62) найдем
Я'* (х,-е) (х) = (х). (9.69)
Мы вновь сопоставляем античастице комплексно-сопряженное от решения с отрицательной энергией, так как (х) удовлетворяет уравнению
Н' (х, — ё) (х) = EJ)^* (х),
что отличается от (9.64) только знаком при е. Плотность вероятности равна
Р (х) = I ф(->' (*) I2 = | (х) р. (9.70)
Среднее значение гамильтониана вновь, как и в (9.60), равно
взятому со знаком минус собственному значению энергии:
Еп = - J Ф;<-)* (*) Н'Ф'„(_) (*) d3x. (9.71)
Поскольку решения с положительной и отрицательной частотой отличаются только знаком заряда в (9.64) и (9.69), появляется привлекательная возможность переопределить в рассматриваемом представлении Фолди — Ваутхайзена вероятности и средние значения энергии путем введения диагональной матрицы
г \ о\
т) = I q _j I уже встречавшейся нам ранее:
= (9.72)
Еп=\ф';(х)ЧН'Ф'п (х)сРх. (9.73)
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЙЕРЕХОД
205
Такое переопределение не сказывается на (9.65) и (9.66) для решений с положительной частотой, но меняет знаки в (9.70) и
(9.71) для решений с отрицательной частотой. Собственные значения энергии теперь совпадают со средними значениями Н, которые по аналогии с обычной квантовой механикой стали положительными как для решений с положительной, так и с отрицательной частотой. Однако теперь Q(x)^ 0 для решений с положительной частотой и Q(;c)^0 для решений с отрицательной частотой и интерпретируется как плотность заряда для частиц и античастиц соответственно.
Мы можем и далее развивать представление Фолди — Ваутхайзена, которое с точностью до удержанных в Н' членов и при условии сходимости ряда по \/т совпадает с формализмом обычной квантовой механики. Например, из (9.62) можно найти уровни энергии и вероятности переходов для п-мезоатома с учетом релятивистской зависимости массы и дарвиновских поправок. Кроме того, связь с классикой и соотношения Эренфеста получаются из
±(0) = t([H, О])+ (%¦). (9.74)
Интерпретация в терминах одночастичной плотности вероятности применима только тогда, когда путем преобразования Фолди — Ваутхайзена удается разделить решения с положительными и отрицательными частотами. Ею нельзя пользоваться в задачах с сильными и быстро меняющимися полями, где необходимо учитывать появление п+яг-пар. В предположении, что
определения (9.72) и (9.73) справедливы и в общем случае, мы
можем вернуться к исходному представлению и исследовать структуру выражений для заряда и энергии. Для этого выполним следующее преобразование:
ф = е-«ф'. (9 75)
Здесь необходимо соблюдать осторожность, так как преобразование, связывающее оба представления, не является унитарным. Из (9.50) и (9.51) следует, что для свободной частицы
S = -S+. (9.76)
Учитывая, что г]5 = — St], находим для энергии
©р = J Ф'р* (х)г\ЩФ'р (х) d3 х = J Ф*р (х) е-^\н'0е1*Фр (х) d3x =
= ^ Фр (х) r\e~isH'oeis<l>p (х) d3x = ^ Фр (х) г\Н0Фр (х) d3x. (9.77)
206 УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА [ГЛ. 9
Таким образом, выражение для энергии не меняет своего вида. Аналогично, используя (9.46) и (9.41), получаем для заряда
^ Q (х) d3x = ^ Фр* (х) цФ'р (х) d3x = ^ Фр (х) т\Фр (х) d3x =
= J [0* (х) 0 (х) - %* (х) % (дс)] d3x = ^\ Ф* (х)Х Ф (х) d\ (9.78)
что после умножения на 2т совпадает с полученным ранее выражением (9.4) для сохраняющегося заряда.
Близкие результаты получаются с учетом взаимодействия. В этом случае преобразование Фолди — Ваутхайзена имеет, как и в гл. 4, вид
фг — . . . 'giS'@1$ф^
где каждая из матриц 5('') удовлетворяет условиям 5(0+ = _ s<'\ = - riS*''.
Поэтому плотность заряда, определенная, как в (9.78), с матрицей "п, вновь принимает простой вид в исходном представлении и совпадает с выражением (9.17) для плотности заряда. Аналогично для уровней энергии я+- и я~-мезонов в статическом внешнем поле имеем
