Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= - Л+&+V'Y5^+ + Л+Я+йАбФрф.. (Ю.22)
Однако, если мы положим в (10.11)
т1+ = +1, (10.23)
’) Условие (10.21) вместе с правилом антисимметризации применимо ко реем процессам, включая те, которые определяют собственную энергию.
220 НЕЭЛЕКТРОМЛГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 10
то закону сохранения будет удовлетворять сумма протонного и я+-мезонного токов
^[/?(*) + Й+(*)]== 0. (10.24)
Мы примем (10.23), чтобы исключить возможность существования необнаруженных локальных источников и стоков электрического заряда. Тогда из (10.21) следует
г)о = г)+ = +1. (10.25)
§ 50. Формализм изотопического спина
Собирая вместе условия (10.15) и (10.19) — (10.21), а также (10.25), полученные из требования равенства амплитуд рассеяния п — п, п — р и р — р в одинаковых состояниях, мы можем переписать волновые уравнения (10.10) — (10.13) в следующей форме, содержащей только одну действительную неизвестную константу связи:
(7V - Мр) г|>р = gQiy5 (^рФо + У2* г|ур+),
(/V - Мп) = g0iy5 (- + У2" фрф_),
( ? + Н02) Ф0 = — &0 ~ VYs’l’J.
(? +Н2+)ф+ = ~ ^0У2 Ф^'У5ФР, (10.27)
(? + И+)ф_ =(? + И+)ф+ = — &0У2
Сходство уравнений для протона и нейтрона наводит на мысль описать их единой нуклонной волновой функцией
(10.26)
(¦;). (10.28)
Нуклонная волновая функция представляет собой восьмикомпонентный спинор, четыре верхних компоненты которого соответствуют протонному спинору, а четыре нижних — нейтронному. Свободное уравнение Дирака имеет диагональный вид, протонные и нейтронные компоненты не смешиваются. В приближении «зарядовой независимости», когда Мр ^ Мп т М, имеем следующее простое уравнение:
(tV - М) ^ = 0.
Для описания входящего в (10.26) взаимодействия необходимо ввести недиагональные матрицы, которые смешивают протонные
§ 50]
ФОРМАЛИЗМ ИЗОТОПИЧЕСКОГО СПИНА
221
и нейтронные волновые функции. Смешивание удобно записать с помощью трех матриц Паули:
Подразумевается, что каждый из элементов этих матриц действует на все четыре компоненты г|зр или г|з„ в (10.28), например
Мы обозначили матрицы символом г, чтобы отличить их от спиновых матриц Паули or. Теперь уравнения (10.26) можно объединить и записать в виде
(/V — М) ? = g0iy5 (т^ + л/2 т+?Ф+ + л/2 т_?Ф_); (10.30)
являются операторами, «повышающими» и «понижающими» заряд.
Уравнение (10.30) можно привести к более компактному виду, если ввести «вектор» ф с тремя компонентами
Аналогичным образом, пренебрегая малой разностью масс и я°-мезонов, т. е. полагая |ло ~ |л+ |л, уравнения (10.27)
можно объединить в одно приближенное уравнение для я-ме-зонов:
Прогресс, достигнутый введением компактных «изоспиновых» обозначений для пионов и нуклонов, является чисто формальным. Никакого нового физического содержания при этом не было заложено. Мы можем считать, что в воображаемом «изотопическом пространстве» ^ образуется как спинор, а ф как
(10.29)
здесь
(10.31)
(10.32)
ф, за -j= (ф+ + ф_), ф2^-^г(ф+_ф_)> ф3=ф0.
Тогда вместо (10.30) имеем
(/V — М) ? = got'Ys (т ' Ф) Ч'-
(10.33)
(? + |^2) ф = — go^Ys1^.
(10.34)
222
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
вектор. Тогда оба волновых уравнения (10.33) и (10.34) оказываются ковариантными относительно вращений в изотопическом пространстве. Ковариантность обеспечена тем, что во взаимодействии мы ограничились членами, которые дают одинаковые силы между протонами и нейтронами и между заряженными и нейтральными пионами. Обратное утверждение также справедливо: любая совокупность инвариантных относительно вращений в изотопическом пространстве волновых уравнений приводит к равенству взаимодействий в системах п — п, п — р и р — р в одинаковых состояниях [96, 97].
Именно с этой целью — построить простую схему, в которой протон и нейтрон являются двумя компонентами нуклонной волновой функции 4я, — мы выводили правила для фейнмановских амплитуд в предыдущем параграфе.
С математической точки зрения формализм изотопического спина совпадает с формализмом трехмерного углового момента. Точно так же, как закон сохранения углового момента следует из ковариантности волнового уравнения относительно вращений в обычном трехмерном пространстве, закон сохранения изотопического спина вытекает из ковариантности (10.33) и (10.34) относительно вращений в изотопическом пространстве. Однако закон сохранения изоспина является приближенным, так как уравнения симметричны только в пренебрежении электромагнитным взаимодействием и разностями масс р и п и и л°. В этом приближении состояния систем из мезонов и нуклонов можно диагонализовать по квадрату полного изотопического спина /2 и третьей проекции изоспина /3, которая связана с полным зарядом системы.
