Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Попытаемся описать этот процесс с помощью уравнения Дирака, подобного уравнению (6.52), т. е.
(/V — Мр) г|)р (х) = ?0Гг|)р (х) ф0 (х), (10.3)
где константа g0 аналогична заряду е, а матрицу Дирака Г нам предстоит определить. Для мезонного поля ф0 можно предложить уравнение типа (7.27) и (7.33), в котором знак г)о = ±1 заранее не определен:
(? + fxg) Ф0 (х) = - g0*p (х) Гг|зр (х) г)0. (10.4)
Экспериментально установлено [96, 97], что ядерные силы с хорошей точностью сохраняют четность, следовательно, на уравнения (10.3) и (10.4) налагается требование сохранения четности, как и лоренцевой инвариантности. Тогда необходимо выбрать Г = iy5 для того, чтобы правая часть (10.4) была псевдоскаляром, как и левая часть.
Нетрудно убедиться в том, что уравнение (10.3) инвариантно относительно преобразования зарядового сопряжения, поэтому можно воспользоваться развитой в гл. 5 теорией дырок и установить соответствие между решениями с отрицательной энергией и волновыми функциями антипротонов. Волновая функция антипротона определяется соотношением вида (5.5):
^p- = c,tp
и удовлетворяет тому же уравнению Дирака (10.3) при условии, что мезоны я0 и зарядово-сопряженный к нему совпадают, т, е.
(фо)с — + ФО-
212
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
Выбранная форма взаимодействия является, по всей вероятности, неправильной или по крайней мере неполной. Уравнения
(10.3) и (10.4) выписаны только из соображений простоты и по аналогии с электродинамикой. Никак не обосновано, например, исключение взаимодействия, содержащего производные полей, хотя в предыдущей главе при рассмотрении взаимодействия заряженных я-мезонов с электромагнитным полем это взаимодействие учитывалось. Таким образом, уравнения (10.3) и (10.4) следует рассматривать как грубую, простую модель, ибо фантазия природы безусловно богаче той, что заложена в уравнениях (10.3) и (10.4). Достоинство этой модели состоит в том, что она позволяет установить общие свойства ядерного взаимодействия, которые сохраняются и при более общем рассмотрении.
Используя предложенную вершину я0 — р-взаимодействия, мы можем теперь вычислить амплитуду, соответствующую диаграмме на рис. 10.1. Из (10.4) найдем в первом порядке поле я°-мезонов, созданное током перехода частицы 2. Ток имеет вид
- goMp' М l%%2 W>
а искомое поле равно
ф0 М = — &о \ d*x' (х — *') [%; (*') fa7)] V (1 °-5)
Согласно (10.3) оно вызывает следующее изменение волновой функции протона 1:
Д^Р1 М = J <Рх" SF (х — х") [Яо^з'Фр, (х") Ф0 (*")]• (Ю.6)
По формулам (6.53) и (6.56) находим амплитуду рассеяния
Sfi = (— 18оТ J d‘x' d*x" (х") (*")] X
X /А, (х" — (*0 (*')]• (Ю.7)
Сравнивая (10.7) с аналогичными формулами (7.32) и (7.33), мы заключаем, что изменения в правилах графической техники состоят в замене вершины еу^ на igoys и пропагатора фотона ign\DF(x — х') на пропагатор я°-мезона +tAjr(JC — х')ц0.
К (Ю.7) мы должны добавить обменный член, возникающий благодаря тождественности двух протонов (ему отвечает диаграмма на рис. 10.2). Соответствующая амплитуда равна
Sf? = -(- igof J d'x" ^ (x") iy^ (*")] X
X /Д, (x" — xf) T|o (*Vy5^2 (*')] • (Ю.8)
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
213
Она отличается от (10.7) перестановкой волновых функций ко*
нечных протонов -ф ' (х) ¦*-> ^ ' (х) и знаком минус, который,
2 Р1
как и в (7.82), обеспечивает антисимметрию начальных и конечных протонных волновых функций относительно перестановки протонов.
Рассеяние нейтрона на нейтроне описывается аналогичным образом. Мы должны записать волновое уравнение для нейтрона, которое включает взаимодействие с я°-мезоном. Кроме того, в
(10.4) добавляется нейтронный источник. Мы можем опираться на экспериментально установленный факт равенства сил р — р и п — п с точностью до поправок, обусловленных электромагнитным взаимодействием, например кулоновским взаимодействием протонов [97, 98]. Поэтому естественно предположить, что нейтроны взаимодействуют с ^-мезонами так же, как протоны, если не считать возможного различия в знаке, е0 = ±1. Таким образом, волновая функция нейтрона удовлетворяет следующему уравнению:
(гV — Мп) i|v (х) = — go^Ys^lV М Фо М, (10• 9)
а уравнение (Ю.4) заменяется на
( ? + Но) Фо М = — go М г'Уб'Фр М — W iy5^i>n Ml Ло- (Ю. Ю)
Небольшую разность масс нейтрона и протона, Мп — Мр « л: 0,002 Мр, относят за счет электромагнитных эффектов, связанных с зарядом протона, и ею обычно пренебрегают, так же как и всеми электромагнитными взаимодействиями. Амплитуда рассеяния п — п, получаемая из (10.9) и (ШЛО), совпадает с амплитудой рассеяния р — р, так как = ± I.
Когда мы переходим к рассмотрению рассеяния р — п, требуется учесть взаимодействие с заряженными п+- и п_-мезо-нами. В низшем порядке в амплитуде учитывается только одно-мезонный обмен, которому соответствуют, кроме диаграмм без обмена зарядом (рис. Ю.З, а), добавочные диаграммы с обменом зарядом (рис. Ю.З, б).
