Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
есть соответственно (ненормированные) волновые функции позитронов и электронов с импульсом р» и р° > 0. Поэтому SF{x' — х) может содержать в будущем, при х'0> х0, только положительно-частотные компоненты.
Чтобы обеспечить это, вернемся к фурье-разложению SF(x' — х) (6.41) и (6.42) и проведем интегрирование по dpo вдоль изображенного на рис. 6.6 контура в комплексной плоскости ро¦ При ? > t контур замыкается в нижней полуплоскости и содержит только положительно-частотный полюс при р0=Ц- д/р2 + т2=Е. В результате имеем
р - , если р2 ф т2. (6.42)
Фс+1 (*) = CvT (р) e~ip’x, ф(+) (x) = u(p)e~ip'x
(6.43)
С
dpp
2я р2 — т2
(р + т) =
Еуо-р-Х + т 2 Е
t' > t. (6.44)
ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЗИТРОНА
99
Отсюда видно, что волна в точке (х', t') содержит только положительно-частотные компоненты. При t' ¦< t контур можно замкнуть сверху, захватив полюс в точке Ро —— Vp2 + w2- Это дает
SF(x' — х) —
= -‘ S WfeW~"e*'eir'" —¦Ь:7’е yJr¦ <''<')• <645>
Следовательно, при tr <. t пропагатор содержит волны только с отрицательными частотами.
Такие волны с отрицательной энергией, отсутствующие в не-релятивистской теории, оказываются здесь неизбежными. Любой другой выбор контура С в (6.44) приводит либо к распространяющимся в будущее волнам с отрицательной энергией, либо к волнам с положительной энергией, распространяющимся в прошлое. Более того, появление волн с отрицательной энергией, распространяющихся в прошлое, является достоинством; они представляют собой позитроны с положительной энергией.
Рис. 6.6. Расположение особенностей относительно контура интегрирования
для величины SF(p).
Это станет более очевидным, когда мы применим метод функции распространения к задачам рассеяния. Причиной появления волн с отрицательной энергией является полюс при р0 — — Vp' + in2, который отсутствовал в нерелятивистской теории.
Выбор контура С можно фиксировать введением в знаменатель (6.42) малой положительной комплексной добавки или про-т2 — ie, подразумевая предел при е->0+:
f p-ip-(x'-x)
Sг + </> + *)• (6.46)
Формулы (6.44) и (6.45) можно объединить путем введения проекционных операторов (3.18) и замены р на —р
100 МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ [ГЛ. 6
в отрицательно-частотной части:
SF (х' -*) = -/$ (-g-) [А+ (р) е-№~*> 0 (Г - t) +
+ А- (р) 0 (/ - /')], (6.47)
где ро = Е > 0. Другую, эквивалентную форму записи мы получим, если воспользуемся нормированными решениями в виде плоских волн
Фр (х) = 'sJ-jr (2it)_s/i w (р) e~ltrp'x.
Тогда для SF(x' — х) находим
2
SF (х' — х) = — /0 (t' — 0 J d^p ^ i|{р {х') (х) +
г=1
4
+ /0 а - /') J d3p ? г|'р (х') фгр (дс) (6.48)
>¦-3
и с помощью (3.11) убеждаемся в том, что5р.(л:' — х) описывает развитие решения с положительной энергией от прошедшего к будущему и решения с отрицательной энергией в обратном направлении:
0 (/' — t) ф(+) (х') = / ^ SP (х' — х) Yo^(+) (х) d3x, (6.49)
0 (/ — /') ip<-) (х') = — i^SF(x' — х) уоФ<-) (х) d3x. (6.50)
Определенную таким образом функцию SF(x' — х) принято называть фейнмановским пропагатором. Он был впервые введен в теорию позитронов в 1942 г. Штюкельбергом и, независимо, в 1948 г. — Фейнманом, который использовал его во многих расчетах.
С помощью свободного пропагатора SF(x' — х) мы можем формально построить полную функцию Грина и элементы 5-матрицы, т. е. амплитуды различных процессов рассеяния с участием электронов и позитронов в присутствии внешних полей. Для этого надо проделать такие же выкладки, как в нерелятивистском случае.
Точный фейнмановский пропагатор S'F(x' — х) удовлетворяет уравнению (6.39) и по аналогии с (6.31) и (6.32) может быть представлен в виде суперпозиции свободных фейнмановских пропагаторов. Имеем
(/V,, - т) S', (х'; х) = $ d4y д4 (х' - у) [б4 [у - х) + еА (у) S', (у; *)].
§ 23] ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЗИТРОНА Ю1
Интегрируя это уравнение, получаем S'f (*'; х) = SF (х' — х) + е J d4y SF{x' -у) А (у) S'P {у, х). (6.51)
Подобно (6.14), точное решение уравнения Дирака
(iWx - т) Ч; (х) = еАЧ' (х) (6.52)
с фейнмановскими граничными условиями имеет вид
W (х) = 1]) (х) + е jj d4y SF (х — у) А (у) 'F (у). (6.53)
Рассеянная волна в (6.53) содержит только положительные час-
тоты в будущем и отрицательные в прошлом в соответствии с (6.48):
