Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из этих диаграмм видно, что нам надо иметь не только амплитуду рождения электрона, скажем в точке 1, распространения его из / в 2 и уничтожения в точке 2, как в нерелятивистском случае, но также и амплитуду рождения, распространения и уничтожения позитрона. Если эти амплитуды для позитронов будут найдены, можно попытаться сопоставить каждому из изображенных на рис. 6.5 процессов свою амплитуду вероятности и построить полную амплитуду любого заданного процесса путем суммирования или интегрирования по всем промежуточным траекториям, которые дают вклад в этот процесс. Так, например, в рассеяние дают вклад траектории двух типов, изображенные на рис. 6.4 и 6.5,6.
Мы должны определить позитронную амплитуду в соответствии со сформулированной в предыдущей главе теорией дырок. Поскольку существование позитрона рассматривается как отсутствие электрона с отрицательной энергией из заполненного моря, мы можем считать уничтожение позитрона в точке 3 на рис. 6.5 эквивалентным рождению в этой точке электрона с отрицательной энергией. Отсюда следует возможность того, что амплитуда рождения позитрона в 1 и уничтожения его в 3 связана с амплитудой рождения электрона с отрицательной энергией в 3 и уничтожения его в 1. Тогда диаграммы рис. 6.5 соответствуют распространению вперед во времени электронов с положительной энергией и назад во времени электронов с отрицательной энергией. Диаграмму 6.5, а, которая описывает рождение пары, можно рассматривать как рождение в точке х' электрона с отрицательной энергией, распространение его назад во времени до точки /, где он уничтожается, и распространение вперед во времени электрона с положительной энергией до точки х. В процессе рассеяния электрон, распространившийся до точки 3, может либо рассеяться на потенциале в положительном направлении в пространстве-времени, как на рис. 6.4, и распространяться далее с положительной энергией, либо рассеяться с отрицательной энергией назад в точке /, как на рис. 6.5,6.
ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЗИТРОНА
9?
Вдобавок к электронным траекториям в виде зигзагов вперед и назад во времени имеются еще траектории в форме замкнутых петель типа показанной на рис. 6.5, о. В теории дырок этой траектории отвечает следующий процесс: в точке 1 электрон из моря с отрицательной энергией рассеивается на потенциале и попадает в состояние с положительной энергией, а затем в точке 3 он рассеивается обратно в море. На языке функции распространения мы скажем, что электрон, родившийся в I, рассеивается назад во времени в 3 и уничтожается в 1. Процессами такого типа нельзя пренебрегать. Их требует формализм теории, а эксперимент, как мы в дальнейшем убедимся, подтверждает их существование.
Начнем осуществление намеченной программы с построения функции Грина для описания распространения электронов и позитронов. Будем руководствоваться результатами рассмотрения позитронов в гл. 5 и итогами исследования метода функции распространения в нерелятивистской теории в настоящей главе.
Нерелятивистский пропагатор определялся уравнением (6.22). По аналогии определим релятивистский пропагатор S'F {х'\ х) как решение уравнения
4
Yj I Yu (1 ~r — eJt (х'Л — m\ S'F (x'\ x) = 6a064 (x' — x). (6.38) j,=t i. V / Jca
Определенный таким образом пропагатор есть матрица той же размерности 4X4, что и матрицы у. Перепишем (6.38) в матричных обозначениях, опуская индексы:
(tV - еА' - т) S'F (х', х) = б4 (*' - *). (6.39)
Другое отличие от (6.22) состоит в том, что в (6.38) оператор i —т---Н (х') умножается на у°> чтобы получить ковариантный
оператор (iV' — еА' — т).
Пропагатор для свободной частицы
(iV - т) SF (х', х) = 64 (х' - х) (6.40)
можно найти путем фурье-преобразования к импульсному пространству. Как и в нерелятивистском случае (6.24), он зависит только от разности (х' — х), поэтому1)
SF (*', х) = SF (*' - х) = J -gr e-M-*SP {p). (6.41)
*) Здесь и далее мы пользуемся четырехмерным обозначением р ¦ х = рах^ = p0t — р • х.
98
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛе 6
Подстановка в (6.40) дает
.Z (Р — т)а\ SFlfi (р) = бар-
Разрешая это уравнение относительно SF(p) и вновь возвращаясь к матричным обозначениям, имеем
Для полноты определения необходимо указать, как поступать с сингулярностью при р2 — т2, т. е. при pQ = ± VР2 + пг2 = ± Е. Из нерелятивистской теории мы помним, что ответ на этот вопрос следует из граничных условий, налагаемых на SF(x' — х) при интегрировании (6.41).
По своему физическому смыслу SF(x'—х) есть волна, вызываемая в точке х' единичным источником, расположенным в точке х. Значительная часть фурье-компонент такого локализованного точечного источника содержит значения импульса, большие, чем т, обратная комптоновская длина волны электрона. Следует поэтому ожидать, что наряду с электронами такой источник будет создавать позитроны. Однако в теории дырок имеется необходимое физическое условие, состоящее в том, что волна, распространяющаяся из точки х в будущее, содержит электронные и позитронные компоненты только с положительной энергией. Позитроны и электроны с положительной энергией описываются волновыми функциями с положительно-частотной зависимостью от времени. Например,
