Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ip(x', 0 = d3xG(x', t'\ х, 0^(x, 0. t'>t, (6.1)
где функция G(x',t'-,x,t) называется функцией Грина, или про-пагатором. Согласно принципу Гюйгенса G(x',t'\x,t) характеризует влияние функции гр(х, t) на г|)(х', t'). Знание G дает нам возможность построить физическое состояние, которое получается развитием во времени из любого наперед заданного начального состояния. Таким образом, нахождение функции Грина эквивалентно полному решению уравнения Шредингера.
Мы, однако, должны еще дать функции G формальное определение. Пока мы лишь провозгласили ее существование, исходя из физических соображений. Остановимся на этих соображениях подробнее, чтобы уяснить суть метода функции распространения.
Рассмотрим сначала решение в виде свободной волны. Движение свободной частицы полностью известно, поэтому нет ничего удивительного в том, что соответствующую функцию Грина G0 для свободного движения можно получить в замкнутом виде. Если теперь ввести потенциал, G0 видоизменится. Пусть V(xi,/i) представляет собой потенциал, который в момент t\ «включается» на очень короткий промежуток времени Д^. До момента t\ мы будем иметь волновую функцию свободной частицы ф, а соответствующим пропагатором будет G0. Согласно уравнению Шредингера V(xi, ) действует как источник новых волн
(г — Я0) Ф (хь t\) = V (хь ti) гр (хь /,). (6.2)
') Поскольку уравнение Шредингера является уравнением первого порядка по времени, принцип Гюйгенса применим к нему без модификации, данной Кирхгофом.
§ 21] .НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРОПАГАТОР 83
Правая часть отлична от нуля в течение времени A/i и в это время она вызывает дополнительное изменение ф по сравнению с тем, которое происходит в отсутствие V. Эту добавочную волну Ai|)(xi,/i) находим интегрированием (6.2) с точностью до первого порядка по Д/р
Дф (хь /,) = — iV (хь /,) ф (хь tx) Atx. (6.3)
Согласно принципу Гюйгенса и (6.1) найденная добавочная волна приводит в свою очередь в более поздний момент времени Г к новой добавке к ф(х', t'), равной
Дф (х', t') = d3xi G0 (x', t'; xu tx) V (xb /,) ф (xb /,) Дtx. (6.4)
Таким образом, результатом развития во времени произвольного пакета ф, заданного в отдаленном прошлом, является волна
ф (х', О = ф (х', t') + d\ G0 (x', t'\ xb /,) V (xb ti) ф (xb tx) Д/х =
= i ^ d3x[G0{x', t'\ x, 0 +
+ d%MiG0(x/, t'\ xb tx)V (xb /1)G0(x1, tu x, /)]ф(х, t). (6.5)
Сравнивая это выражение с (6.1), находим G (х', t'\ х, t) = G0 (х', t'\ х, t) +
+ d% AtiG0 (x', t'\ xb ti) V (xb ti) G0 (xi, ti; x, t). (6.6)
Иллюстрацией этого равенства могут служить изображенные на рис. 6.1 пространственно-временные диаграммы. Первому члену, который описывает распространение свободной частицы из точки (х, t) в (x',t'), отвечает рис. 6.1, а. Диаграмма 6.1,6 изображает свободное движение из (х, t) в (xi,^i), рассеяние в точке (xi, /1) и свободное движение из (xi,/i) в (х', t').
В момент времени t2 > 11 мы можем на время Дt2 включить другой потенциал К(х2, t2). Тогда по аналогии с (6.4) V(x2,t2) дает при ? > t2 добавочный вклад в ф(х', t'), равный
Дф (*') = J d% G0 (*'; 2) V (2) ф (2) Дt2 =
= i J d3x d3x2 Дt2G0 (x'; 2) V (2) [G0 (2; x) +
+ ^ d3Xi AtiG0 (2; 1) К (1) G0 (1; x)\ Ф (jc); (6.7)
84
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛ. 6
здесь смысл сокращенных обозначений очевиден. Иллюстрацией первого члена, который отвечает однократному рассеянию в (х2, t2), служит рис. 6 1, в; второй член описывает поправку на двукратное рассеяние и изображается диаграммой 6.1, г.
Рис. 6.1. Пространственно-временные диаграммы для распространения из точки (х, /) в (х , t'). Диаграмма (а) отвечает свободной частице, (б) — однократному рассеянию на потенциале V (хь 11) в точке (xi, /1), (в) соответствует однократному рассеянию в точке (х2, t2) и (г) отвечает двукратному
рассеянию.
Для нахождения полной волны, приходящей в точку (x',t'), надо подставить выражение (6.5) для г|э(2) в правую часть (6.7^ и полученный результат сложить с (6.5):
Ф СО == Ф "Ь ^ d3X\ At i Go (x'> l)V(l)<p(l) +
+ \d3x2At2G0(x'; 2) У (2) <p (2) +
+ J d3xx At! d3x2 At2G0 (*'; 2) V (2) G0(2; 1) V (1)ф (1). (6.8)
§ 21] НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРОПАГАТОР 85
Не проводя дальнейших выкладок, нетрудно записать ответ для
волны, приходящей в точку в случае, когда потенциал V
был включен в течение п подобных интервалов:
ц (*') = ф (х7) + Y 5 d^xi (*'; xi) v (xi) Ф (x«) + i
+ Y \ d3xi A/i d3xiA/iG0 (x'> xi) V (x<) Go {xr, Xj) К (Xj) Ф (x,) +
4
(</>'/)
Z! S d3xi ^ d3x1 d3xk лtk ^
ijk
(<<>'/Xfc)
X Go {x'\ Xi) V (Xi) Go (xr, xj) V (Xj) G0 (*,; xk) V (xk) ф (хк) + ... (6.9)
